Cálculo Ejemplos

$(2 x e^{y} + e^{x}) d x + (x^{2} + 1) e^{y} d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x e^{y} + e^{x}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{y} + e^{x}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x e^{y} + e^{x}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x e^{y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x e^{y}$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ es $a^{y} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y} + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Paso 1.4

Como $e^{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $e^{x}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y} + 0$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Suma $2 x e^{y}$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y}$

Paso 1.5.2

Reordena los factores de $2 x e^{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{y} x$

Paso 1.5.3

Reordena los factores en $2 e^{y} x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y}$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) e^{y}]$

Paso 2.2

Como $e^{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $(x^{2} + 1) e^{y}$ con respecto a $x$ es $e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} (2 x + 0)$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} (2 x)$

Paso 2.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot e^{y} x$

Paso 2.6.3

Reordena los factores en $2 e^{y} x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x e^{y}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 x e^{y}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 x e^{y}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x e^{y} = 2 x e^{y}$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$2 x e^{y} = 2 x e^{y}$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int (x^{2} + 1) e^{y} d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Dado que $x^{2} + 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $x^{2} + 1$ fuera de la integral.

$f (x, y) = (x^{2} + 1) \int e^{y} d y$

Paso 5.2

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$f (x, y) = (x^{2} + 1) (e^{y} + C)$

Paso 5.3

Simplifica.

$f (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y} + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y} + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x e^{y} + e^{x}$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) e^{y} + g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $(x^{2} + 1) e^{y} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) e^{y}]$ .

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Paso 8.3.1

Como $e^{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $(x^{2} + 1) e^{y}$ con respecto a $x$ es $e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

Paso 8.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

Paso 8.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{y} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

Paso 8.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{y} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

Paso 8.3.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$e^{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

Paso 8.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{y}$ .

$2 e^{y} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$2 e^{y} x + \frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} + e^{x}$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{y} x = 2 x e^{y} + e^{x}$

Paso 8.5.2

Reordena los factores en $\frac{d g}{d x} + 2 e^{y} x$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x e^{y} = 2 x e^{y} + e^{x}$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $2 x e^{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} + e^{x} - 2 x e^{y}$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $2 x e^{y} + e^{x} - 2 x e^{y}$ .

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Paso 9.1.2.1

Resta $2 x e^{y}$ de $2 x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + e^{x}$

Paso 9.1.2.2

Suma $0$ y $e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{x}$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $e^{x}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int e^{x} d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int e^{x} d x$

Paso 10.3

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$g (x) = e^{x} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y} + e^{x} + C$

Paso 12

Simplifica cada término.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = x^{2} e^{y} + 1 e^{y} + e^{x} + C$

Paso 12.2

Multiplica $e^{y}$ por $1$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{y} + e^{y} + e^{x} + C$