Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^{2}}{x^{2}} - 1}$

Paso 1

Reescribe $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ como ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{(\frac{y}{x})}^{2} - 1}$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{V^{2} - 1}$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{2} - 1}$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{2} - 1^{2}}$

Paso 6.1.1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = V$ y $b = 1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

Paso 6.1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1.1.2.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} - V$

Paso 6.1.1.2.2

Combina los términos opuestos en $V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} - V$ .

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Paso 6.1.1.2.2.1

Resta $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

Paso 6.1.1.2.2.2

Suma $0$ y $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

Paso 6.1.1.3

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.3.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Paso 6.1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Paso 6.1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Paso 6.1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Paso 6.1.3

Cancela el factor común de $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ .

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Paso 6.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Paso 6.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 6.1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} d V = \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Completa el cuadrado.

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Paso 6.2.2.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.2.1.1.1

Expande $(V + 1) (V - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.2.2.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$V (V - 1) + 1 (V - 1)$

Paso 6.2.2.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1)$

Paso 6.2.2.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1$

Paso 6.2.2.1.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.2.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1.2.1.1

Multiplica $V$ por $V$ .

$V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1$

Paso 6.2.2.1.1.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $V$ .

$V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1$

Paso 6.2.2.1.1.2.1.3

Reescribe $- 1 V$ como $- V$ .

$V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1$

Paso 6.2.2.1.1.2.1.4

Multiplica $V$ por $1$ .

$V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1$

Paso 6.2.2.1.1.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$V^{2} - V + V - 1$

Paso 6.2.2.1.1.2.2

Suma $- V$ y $V$ .

$V^{2} + 0 - 1$

Paso 6.2.2.1.1.2.3

Suma $V^{2}$ y $0$ .

$V^{2} - 1$

Paso 6.2.2.1.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 0$

$c = - 1$

Paso 6.2.2.1.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 6.2.2.1.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 6.2.2.1.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.2.1.4.2

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 6.2.2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.2.1.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (1)}$

Paso 6.2.2.1.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.2.1.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{0}{1}$

Paso 6.2.2.1.4.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$d = 0$

Paso 6.2.2.1.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 6.2.2.1.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 6.2.2.1.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.5.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e = - 1 - \frac{0}{4 \cdot 1}$

Paso 6.2.2.1.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = - 1 - \frac{0}{4}$

Paso 6.2.2.1.5.2.1.3

Divide $0$ por $4$ .

$e = - 1 - 0$

Paso 6.2.2.1.5.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e = - 1 + 0$

Paso 6.2.2.1.5.2.2

Suma $- 1$ y $0$ .

$e = - 1$

Paso 6.2.2.1.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(V + 0)}^{2} - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(V + 0)}^{2} - 1}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

Sea $u = V + 0$ . Entonces $d u = d V$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.2.2.1

Deja $u = V + 0$ . Obtén $\frac{d u}{d V}$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Diferencia $V + 0$ .

$\frac{d}{d V} [V + 0]$

Paso 6.2.2.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $V + 0$ con respecto a $V$ es $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$

Paso 6.2.2.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ es $n V^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [0]$

Paso 6.2.2.2.1.4

Como $0$ es constante con respecto a $V$ , la derivada de $0$ con respecto a $V$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.2.2.2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3

Sea $u = \sec (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ es positiva.

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 6.2.2.4.1

Simplifica $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

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Paso 6.2.2.4.1.1

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4.2

Cancela el factor común de $\tan (t)$ .

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Paso 6.2.2.4.2.1

Factoriza $\tan (t)$ de $\sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \sec (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.5

La integral de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 6.2.2.6.1

Reemplaza todos los casos de $t$ con $arcsec (u)$ .

$\ln (| \sec (arcsec (u)) + \tan (arcsec (u)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6.2

Reemplaza todos los casos de $u$ con $V + 0$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V + 0)) + \tan (arcsec (V + 0)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.7

Simplifica.

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Paso 6.2.2.7.1

Suma $V$ y $0$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V + 0)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.7.2

Suma $V$ y $0$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) = \ln (| x |) + C$

Paso 6.3

Resuelve $V$

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Paso 6.3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) - \ln (| x |) = C$

Paso 6.3.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |}{| x |}) = C$

Paso 6.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.3.1

Las funciones secante y arcosecante son inversas.

$\ln (\frac{| V + \tan (arcsec (V)) |}{| x |}) = C$

Paso 6.3.3.2

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, \sqrt{V^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $arcsec (V)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, \sqrt{V^{2} - 1^{2}})$ . Por lo tanto, $\tan (arcsec (V))$ es $\sqrt{V^{2} - 1}$ .

$\ln (\frac{| V + \sqrt{V^{2} - 1} |}{| x |}) = C$

Paso 6.3.3.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| V + \sqrt{V^{2} - 1^{2}} |}{| x |}) = C$

Paso 6.3.3.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = V$ y $b = 1$ .

$\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}) = C$

Paso 6.3.4

Para resolver $V$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |})} = e^{C}$

Paso 6.3.5

Reescribe $\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}$

Paso 6.3.6

Resuelve $V$

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Paso 6.3.6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} = e^{C}$

Paso 6.3.6.2

Multiplica ambos lados por $| x |$ .

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Paso 6.3.6.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.6.3.1

Cancela el factor común de $| x |$ .

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Paso 6.3.6.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Paso 6.3.6.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} | = e^{C} | x |$

Paso 6.3.6.4

Resuelve $V$

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Paso 6.3.6.4.1

Reordena los factores en $e^{C} | x |$ .

$| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} | = | x | e^{C}$

Paso 6.3.6.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm | x | e^{C}$

Paso 6.3.6.4.3

Resuelve $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

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Paso 6.3.6.4.3.1

Reordena los factores en $\pm | x | e^{C}$ .

$V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm e^{C} | x |$

Paso 6.3.6.4.3.2

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm e^{C} | x | - V$

Paso 6.3.6.4.4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}^{2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Paso 6.3.6.4.5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.6.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ como ${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Paso 6.3.6.4.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.6.4.5.2.1

Simplifica ${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.6.4.5.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.6.4.5.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Paso 6.3.6.4.5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.6.4.5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Paso 6.3.6.4.5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${((V + 1) (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Paso 6.3.6.4.5.2.1.2

Expande $(V + 1) (V - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.3.6.4.5.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(V (V - 1) + 1 (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Paso 6.3.6.4.5.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Paso 6.3.6.4.5.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

${(V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Paso 6.3.6.4.5.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.3.6.4.5.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.6.4.5.2.1.3.1.1

Multiplica $V$ por $V$ .

${(V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Paso 6.3.6.4.5.2.1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $V$ .

${(V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Paso 6.3.6.4.5.2.1.3.1.3

Reescribe $- 1 V$ como $- V$ .

${(V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Paso 6.3.6.4.5.2.1.3.1.4

Multiplica $V$ por $1$ .

${(V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Paso 6.3.6.4.5.2.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

${(V^{2} - V + V - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Paso 6.3.6.4.5.2.1.3.2

Suma $- V$ y $V$ .

${(V^{2} + 0 - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Paso 6.3.6.4.5.2.1.3.3

Suma $V^{2}$ y $0$ .

${(V^{2} - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Paso 6.3.6.4.5.2.1.4

Simplifica.

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Paso 6.3.6.4.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.6.4.5.3.1

Simplifica ${(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$ .

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Paso 6.3.6.4.5.3.1.1

Reescribe ${(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$ como $(\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$ .

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$

Paso 6.3.6.4.5.3.1.2

Expande $(\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.3.6.4.5.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x | - V) - V (\pm e^{C} | x | - V)$

Paso 6.3.6.4.5.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x | - V)$

Paso 6.3.6.4.5.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Paso 6.3.6.4.5.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.3.6.4.5.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1

Multiplica $(\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |)$ .

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Paso 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.1

Eleva $\pm e^{C} | x |$ a la potencia de $1$ .

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1} (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Paso 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.2

Eleva $\pm e^{C} | x |$ a la potencia de $1$ .

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1} {(\pm e^{C} | x |)}^{1} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Paso 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1 + 1} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Paso 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Paso 6.3.6.4.5.3.1.3.1.2

Remove the plus-minus sign on $\pm e^{C} | x |$ because it is raised to an even power.

$V^{2} - 1 = {(e^{C} | x |)}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Paso 6.3.6.4.5.3.1.3.1.3

Aplica la regla del producto a $e^{C} | x |$ .

$V^{2} - 1 = {(e^{C})}^{2} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Paso 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4

Multiplica los exponentes en ${(e^{C})}^{2}$ .

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Paso 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V^{2} - 1 = e^{C \cdot 2} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Paso 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $C$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Paso 6.3.6.4.5.3.1.3.1.5

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Paso 6.3.6.4.5.3.1.3.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Paso 6.3.6.4.5.3.1.3.1.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 V \cdot V$

Paso 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8

Multiplica $V$ por $V$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8.1

Mueve $V$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 (V \cdot V)$

Paso 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8.2

Multiplica $V$ por $V$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 V^{2}$

Paso 6.3.6.4.5.3.1.3.1.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) + 1 V^{2}$

Paso 6.3.6.4.5.3.1.3.1.10

Multiplica $V^{2}$ por $1$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Paso 6.3.6.4.5.3.1.3.2

Resta $V (\pm e^{C} | x |)$ de $- (\pm e^{C} | x |) V$ .

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Paso 6.3.6.4.5.3.1.3.2.1

Mueve $\pm e^{C} | x |$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - 1 V (\pm e^{C} | x |) - V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Paso 6.3.6.4.5.3.1.3.2.2

Resta $V (\pm e^{C} | x |)$ de $- 1 V (\pm e^{C} | x |)$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Paso 6.3.6.4.5.3.1.4

Reordena los factores en $e^{2 C} x^{2} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$ .

$V^{2} - 1 = x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Paso 6.3.6.4.6

Resuelve $V$

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Paso 6.3.6.4.6.1

Como $V$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} = V^{2} - 1$

Paso 6.3.6.4.6.2

Mueve todos los términos que contengan $V$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.3.6.4.6.2.1

Resta $V^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} - V^{2} = - 1$

Paso 6.3.6.4.6.2.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} - V^{2}$ .

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Paso 6.3.6.4.6.2.2.1

Resta $V^{2}$ de $V^{2}$ .

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + 0 = - 1$

Paso 6.3.6.4.6.2.2.2

Suma $x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |)$ y $0$ .

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1$

Paso 6.3.6.4.6.3

Resta $x^{2} e^{2 C}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$

Paso 6.3.6.4.6.4

Divide cada término en $- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$ por $- 2 (\pm e^{C} | x |)$ y simplifica.

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Paso 6.3.6.4.6.4.1

Divide cada término en $- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$ por $- 2 (\pm e^{C} | x |)$ .

$\frac{- 2 V (\pm e^{C} | x |)}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Paso 6.3.6.4.6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.6.4.6.4.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 6.3.6.4.6.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 V (\pm e^{C} | x |)}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Paso 6.3.6.4.6.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{V (\pm e^{C} | x |)}{\pm e^{C} | x |} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Paso 6.3.6.4.6.4.2.2

Cancela el factor común de $\pm e^{C} | x |$ .

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Paso 6.3.6.4.6.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{V (\pm e^{C} | x |)}{\pm e^{C} | x |} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Paso 6.3.6.4.6.4.2.2.2

Divide $V$ por $1$ .

$V = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Paso 6.3.6.4.6.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.6.4.6.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.6.4.6.4.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$V = \frac{1}{2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Paso 6.3.6.4.6.4.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$V = \frac{1}{2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{x^{2} e^{2 C}}{2 (\pm e^{C} | x |)}$

Paso 6.4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.4.1

Simplifica la constante de integración.

$V = \frac{1}{2 (\pm C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (\pm C | x |)}$

Paso 6.4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$V = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (\pm C | x |)}$

Paso 6.4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$V = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$

Paso 8

Resuelve $\frac{y}{x} = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$ en $y$ .

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Paso 8.1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Paso 8.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.1

Simplifica $(\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$ .

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Paso 8.2.2.1.1

Cancela el factor común de $C$ .

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Paso 8.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Paso 8.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2}}{2 | x |}) x$

Paso 8.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1}{2 C | x |} x + \frac{x^{2}}{2 | x |} x$

Paso 8.2.2.1.3

Combina $\frac{1}{2 C | x |}$ y $x$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2}}{2 | x |} x$

Paso 8.2.2.1.4

Multiplica $\frac{x^{2}}{2 | x |} x$ .

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Paso 8.2.2.1.4.1

Combina $\frac{x^{2}}{2 | x |}$ y $x$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2} x}{2 | x |}$

Paso 8.2.2.1.4.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 8.2.2.1.4.2.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 8.2.2.1.4.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2} x^{1}}{2 | x |}$

Paso 8.2.2.1.4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2 + 1}}{2 | x |}$

Paso 8.2.2.1.4.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{3}}{2 | x |}$