Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = {(y + 2)}^{6}$ , $y (0) = - 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{{(y + 2)}^{6}}$ .

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} {(y + 2)}^{6}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de ${(y + 2)}^{6}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} {(y + 2)}^{6}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} d y = 1 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} d y = \int d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = y + 2$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = y + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{6}} d u = \int d x$

Paso 2.2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.2.1

Mueve $u^{6}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(u^{6})}^{- 1} d u = \int d x$

Paso 2.2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{6})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{6 \cdot - 1} d u = \int d x$

Paso 2.2.2.2.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\int u^{- 6} d u = \int d x$

Paso 2.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 6}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$- \frac{1}{5} u^{- 5} + C_{1} = \int d x$

Paso 2.2.4

Simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Reescribe $- \frac{1}{5} u^{- 5} + C_{1}$ como $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C_{1} = \int d x$

Paso 2.2.4.2

Simplifica.

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Paso 2.2.4.2.1

Multiplica $\frac{1}{u^{5}}$ por $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{u^{5} \cdot 5} + C_{1} = \int d x$

Paso 2.2.4.2.2

Mueve $5$ a la izquierda de $u^{5}$ .

$- \frac{1}{5 u^{5}} + C_{1} = \int d x$

Paso 2.2.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y + 2$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} + C_{1} = \int d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} + C_{1} = x + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $- 1$ por $y$ en $- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$ .

$- \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}} = 0 + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $0 + K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$ .

$0 + K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$

Paso 4.2

Suma $0$ y $K$ .

$K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$

Paso 4.3

Simplifica $- \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$ .

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Paso 4.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.1.1

Suma $- 1$ y $2$ .

$K = - \frac{1}{5 \cdot 1^{5}}$

Paso 4.3.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$K = - \frac{1}{5 \cdot 1}$

Paso 4.3.2

Multiplica $5$ por $1$ .

$K = - \frac{1}{5}$

Paso 5

Sustituye $- \frac{1}{5}$ por $K$ en $- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- \frac{1}{5}$ por $K$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x - \frac{1}{5}$