Cálculo Ejemplos

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r θ + r}{r θ + θ}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza $r$ de $r θ + r$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $r$ de $r θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r}{r θ + θ}$

Paso 1.1.2

Eleva $r$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r^{1}}{r θ + θ}$

Paso 1.1.3

Factoriza $r$ de $r^{1}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r \cdot 1}{r θ + θ}$

Paso 1.1.4

Factoriza $r$ de $r (θ) + r \cdot 1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{r θ + θ}$

Paso 1.2

Factoriza $θ$ de $r θ + θ$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $θ$ de $r θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ}$

Paso 1.2.2

Eleva $θ$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ^{1}}$

Paso 1.2.3

Factoriza $θ$ de $θ^{1}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ \cdot 1}$

Paso 1.2.4

Factoriza $θ$ de $θ r + θ \cdot 1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ (r + 1)}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{r + 1}{r}$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} (\frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $\frac{r}{r + 1}$ por $\frac{θ + 1}{θ}$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $r + 1$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $r + 1$ de $(r + 1) θ$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) (θ)}$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

Paso 1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $r$ .

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Paso 1.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

Paso 1.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{θ + 1}{θ}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{r + 1}{r} d r = \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{r + 1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int \frac{r}{r} + \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Paso 2.2.3

Cancela el factor común de $r$ .

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Paso 2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Paso 2.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\int d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Paso 2.2.4

Aplica la regla de la constante.

$r + C_{1} + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{r}$ con respecto a $r$ es $\ln (| r |)$ .

$r + C_{1} + \ln (| r |) + C_{2} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} + \frac{1}{θ} d θ$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Paso 2.3.3

Cancela el factor común de $θ$ .

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Paso 2.3.3.1

Cancela el factor común.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Paso 2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \int \frac{1}{θ} d θ$

Paso 2.3.5

La integral de $\frac{1}{θ}$ con respecto a $θ$ es $\ln (| θ |)$ .

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \ln (| θ |) + C_{5}$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + \ln (| θ |) + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$