Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Divide $\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide la fracción $\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$ en dos fracciones.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - x y}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2} - x y$ .

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Paso 1.1.2.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x - x y}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.1.1.2

Factoriza $x$ de $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - 1 y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.1.2

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.3

Divide la fracción $\frac{x - y}{y}$ en dos fracciones.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.4.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y^{2}}{x y}$

Paso 1.1.2.5

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{x y}$

Paso 1.1.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.5.2.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{y x}$

Paso 1.1.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{y x}$

Paso 1.1.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y}{x}$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{x}{y}$ como ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} - 1 + \frac{y}{x}$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{- 1} - 1 + V$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{- 1} - 1 + V$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{V} - 1 + V$

Paso 6.1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1.1.2.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + V - V$

Paso 6.1.1.2.2

Combina los términos opuestos en $\frac{1}{V} - 1 + V - V$ .

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Paso 6.1.1.2.2.1

Resta $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + 0$

Paso 6.1.1.2.2.2

Suma $\frac{1}{V} - 1$ y $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$

Paso 6.1.1.3

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.3.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Paso 6.1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Paso 6.1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Paso 6.1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.3.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.1.2

Multiplica $\frac{1}{V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{- 1}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{1}{x}$

Paso 6.1.2

Factoriza.

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Paso 6.1.2.1

Para escribir $- \frac{1}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{V}{V}$

Paso 6.1.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $V x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.1.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{V}{x V}$

Paso 6.1.2.2.2

Reordena los factores de $x V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{V}{V x}$

Paso 6.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - V}{V x}$

Paso 6.1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - V}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{V}{1 - V}$ .

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} (\frac{1 - V}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.5

Simplifica.

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Paso 6.1.5.1

Multiplica $\frac{1 - V}{V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V x}$

Paso 6.1.5.2

Cancela el factor común de $V$ .

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Paso 6.1.5.2.1

Factoriza $V$ de $V x$ .

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V (x)}$

Paso 6.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V x}$

Paso 6.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{x}$

Paso 6.1.5.3

Cancela el factor común de $1 - V$ .

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Paso 6.1.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{x}$

Paso 6.1.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 6.1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{V}{1 - V} d V = \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{V}{1 - V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Reordena $1$ y $- V$ .

$\int \frac{V}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

Divide $V$ por $- V + 1$ .

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Paso 6.2.2.2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$V$

$1$

$V$

$0$

Paso 6.2.2.2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $V$ por el término de mayor orden en el divisor $- V$ .

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$

Paso 6.2.2.2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				+	$V$	-	$1$

Paso 6.2.2.2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $V - 1$ .

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				-	$V$	+	$1$

Paso 6.2.2.2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				-	$V$	+	$1$
						+	$1$

Paso 6.2.2.2.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int - 1 + \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - 1 d V + \int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4

Aplica la regla de la constante.

$- V + C_{1} + \int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.5

Sea $u = - V + 1$ . Entonces $d u = - d V$ , de modo que $- d u = d V$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.2.5.1

Deja $u = - V + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d V}$ .

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Paso 6.2.2.5.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 6.2.2.5.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 6.2.2.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- V + C_{1} + \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- V + C_{1} + \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- V + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- V + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.9

Simplifica.

$- V - \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- V + 1$ .

$- V - \ln (| - V + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- V - \ln (| - V + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- V - \ln (| - V + 1 |) = \ln (| x |) + C$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$- \frac{y}{x} - \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$

Paso 8

Resuelve $- \frac{y}{x} - \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$ en $y$ .

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Paso 8.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) - \ln (| x |) = \frac{y}{x} + C$

Paso 8.2

Suma $\ln (| x |)$ a ambos lados de la ecuación.

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$

Paso 8.3

Divide cada término en $- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 8.3.1

Divide cada término en $- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)}{- 1} = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)}{1} = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 8.3.2.2

Divide $\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)$ por $1$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 8.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{y}{x}}{- 1}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - 1 \cdot \frac{y}{x} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 8.3.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot \frac{y}{x}$ como $- \frac{y}{x}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 8.3.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 8.3.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 8.3.3.1.5

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Paso 8.3.3.1.6

Reescribe $- 1 \cdot \ln (| x |)$ como $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C - \ln (| x |)$

Paso 8.4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) + \ln (| x |) = - \frac{y}{x} - C$

Paso 8.5

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 | | x |) = - \frac{y}{x} - C$

Paso 8.6

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| (- \frac{y}{x} + 1) x |) = - \frac{y}{x} - C$

Paso 8.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| - \frac{y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

Paso 8.8

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y}{x}$ al numerador.

$\ln (| \frac{- y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

Paso 8.8.2

Cancela el factor común.

$\ln (| \frac{- y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

Paso 8.8.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| - y + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

Paso 8.9

Multiplica $x$ por $1$ .

$\ln (| - y + x |) = - \frac{y}{x} - C$