Cálculo Ejemplos

$(1 + x^{2}) d y - (1 + y^{2}) d x = 0$

Paso 1

Suma $(1 + y^{2}) d x$ a ambos lados de la ecuación.

$(1 + x^{2}) d y = (1 + y^{2}) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $1 + x^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $1 + y^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $1 + y^{2}$ de $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.2

La integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Paso 4.3.2

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\arctan (x) + K = \arctan (y)$ .

$\arctan (x) + K = \arctan (y)$

Paso 5.2

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$\arctan (x) = \arctan (y) - K$

Paso 5.3

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$x = \tan (\arctan (y) - K)$

Paso 5.4

Reescribe la ecuación como $\tan (\arctan (y) - K) = x$ .

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

Paso 5.5

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $\arctan (y)$ del interior de la tangente.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

Paso 5.6

Suma $K$ a ambos lados de la ecuación.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Paso 5.7

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$

Paso 5.8

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

Paso 5.9

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $\arctan (y)$ del interior de la tangente.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

Paso 5.10

Suma $K$ a ambos lados de la ecuación.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Paso 5.11

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$