Cálculo Ejemplos

$(y^{2} + x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $(y^{2} + x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$ por $y^{2} + x^{2} y^{2}$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $(y^{2} + x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$ por $y^{2} + x^{2} y^{2}$ .

$\frac{(y^{2} + x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x}}{y^{2} + x^{2} y^{2}} = \frac{1}{y^{2} + x^{2} y^{2}}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $y^{2} + x^{2} y^{2}$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(y^{2} + x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x}}{y^{2} + x^{2} y^{2}} = \frac{1}{y^{2} + x^{2} y^{2}}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + x^{2} y^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.1

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} + x^{2} y^{2}$ .

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Paso 1.1.3.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} \cdot 1 + x^{2} y^{2}}$

Paso 1.1.3.1.2

Factoriza $y^{2}$ de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2}}$

Paso 1.1.3.1.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} (1 + x^{2})}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Multiplica $\frac{1}{y^{2}}$ por $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (1 + x^{2})}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.4.2.1

Cancela el factor común.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (1 + x^{2})}$

Paso 1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$y^{2} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Paso 2.3.2

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \arctan (x) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\arctan (x) + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\arctan (x) + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\arctan (x) + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 3 (\arctan (x) + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 \arctan (x) + 3 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{3 \arctan (x) + 3 K}$

Paso 3.4

Factoriza $3$ de $3 \arctan (x) + 3 K$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $3$ de $3 \arctan (x)$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\arctan (x)) + 3 K}$

Paso 3.4.2

Factoriza $3$ de $3 (\arctan (x)) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\arctan (x) + K)}$