Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Resta $\frac{1}{x^{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Paso 1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d y}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.2.1

Resta $\frac{y}{x^{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x^{2}} = - \frac{y}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Suma $\frac{1}{x^{2}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y + 1}{x^{2}}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{- y + 1}$ .

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 1} \cdot \frac{- y + 1}{x^{2}}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Multiplica $\frac{1}{- y + 1}$ por $\frac{- y + 1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- y + 1}{(- y + 1) x^{2}}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $- y + 1$ .

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Paso 1.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- y + 1}{(- y + 1) x^{2}}$

Paso 1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{- y + 1} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{- y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = - y + 1$ . Entonces $d u = - d y$ , de modo que $- d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = - y + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 2.2.1.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.2

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- y + 1$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.1.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Paso 2.3.3

Reescribe $- x^{- 1} + C_{2}$ como $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \ln (| - y + 1 |) = - \frac{1}{x} + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $- \ln (| - y + 1 |) = - \frac{1}{x} + C$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $- \ln (| - y + 1 |) = - \frac{1}{x} + C$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - y + 1 |)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (| - y + 1 |)}{1} = \frac{- \frac{1}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.2.2

Divide $\ln (| - y + 1 |)$ por $1$ .

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{- \frac{1}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{\frac{1}{x}}{1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.2

Divide $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{1}{x} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{1}{x} - 1 \cdot C$

Paso 3.1.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{1}{x} - C$

Paso 3.2

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| - y + 1 |)} = e^{\frac{1}{x} - C}$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (| - y + 1 |) = \frac{1}{x} - C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{x} - C} = | - y + 1 |$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $| - y + 1 | = e^{\frac{1}{x} - C}$ .

$| - y + 1 | = e^{\frac{1}{x} - C}$

Paso 3.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$- y + 1 = \pm e^{\frac{1}{x} - C}$

Paso 3.4.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- y = \pm e^{\frac{1}{x} - C} - 1$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $- y = \pm e^{\frac{1}{x} - C} - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $- y = \pm e^{\frac{1}{x} - C} - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.4.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.4.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{\frac{1}{x} - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.4.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (\pm e^{\frac{1}{x} - C})$ como $- (\pm e^{\frac{1}{x} - C})$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x} - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.4.3.1.3

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x} - C}) + 1$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x} + C}) + 1$

Paso 4.2

Reescribe $e^{\frac{1}{x} + C}$ como $e^{\frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x}} e^{C}) + 1$

Paso 4.3

Reordena $e^{\frac{1}{x}}$ y $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{\frac{1}{x}}) + 1$

Paso 4.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = - (C e^{\frac{1}{x}}) + 1$