Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = - 7 x^{6} e^{- x^{7}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = - 7 x^{6} e^{- x^{7}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int - 7 x^{6} e^{- x^{7}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int - 7 x^{6} e^{- x^{7}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 7$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - 7 \int x^{6} e^{- x^{7}} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u_{2} = e^{- x^{7}}$ . Entonces $d u_{2} = - 7 x^{6} e^{- x^{7}} d x$ , de modo que $- \frac{1}{7} d u_{2} = x^{6} e^{- x^{7}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u_{2} = e^{- x^{7}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $e^{- x^{7}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{7}}]$

Paso 2.3.2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{7}$ .

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Paso 2.3.2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x^{7}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{7}]$

Paso 2.3.2.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{7}]$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x^{7}$ .

$e^{- x^{7}} \frac{d}{d x} [- x^{7}]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.3.2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{7}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$e^{- x^{7}} (- \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Paso 2.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$e^{- x^{7}} (- (7 x^{6}))$

Paso 2.3.2.1.3.3

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$e^{- x^{7}} (- 7 x^{6})$

Paso 2.3.2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1.4.1

Reordena los factores de $e^{- x^{7}} (- 7 x^{6})$ .

$- 7 e^{- x^{7}} x^{6}$

Paso 2.3.2.1.4.2

Reordena los factores en $- 7 e^{- x^{7}} x^{6}$ .

$- 7 x^{6} e^{- x^{7}}$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 7 \int \frac{1}{- 7} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = - 7 \int - \frac{1}{7} d u_{2}$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = - 7 (- \frac{1}{7} u_{2} + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.5.1

Simplifica.

$y + C_{1} = - 7 (- \frac{1}{7} u_{2}) + C_{2}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

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Paso 2.3.5.2.1

Combina $u_{2}$ y $\frac{1}{7}$ .

$y + C_{1} = - 7 (- \frac{u_{2}}{7}) + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$y + C_{1} = 7 \frac{u_{2}}{7} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.3

Combina $7$ y $\frac{u_{2}}{7}$ .

$y + C_{1} = \frac{7 u_{2}}{7} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.4

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 2.3.5.2.4.1

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{7 u_{2}}{7} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.4.2

Divide $u_{2}$ por $1$ .

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

Paso 2.3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{- x^{7}}$ .

$y + C_{1} = e^{- x^{7}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = e^{- x^{7}} + K$