Cálculo Ejemplos

$(6 x - 5) \frac{d x}{d y} = \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1}$ .

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} \cdot \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{y}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Multiplica $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1}$ por $\frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{y}$ .

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{(- 3 x^{2} + 5 x + 1) y}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{(- 3 x^{2} + 5 x + 1) y}$

Paso 1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{y}$

Paso 1.3

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} (6 x - 5) \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} (6 x - 5) d x = \frac{1}{y} d y$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} (6 x - 5) d x = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = - 3 x^{2} + 5 x + 1$ . Entonces $d u = (- 6 x + 5) d x$ , de modo que $- d u = (6 x - 5) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = - 3 x^{2} + 5 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 5 x + 1]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 2.2.1.1.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.1.1.4.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$- 6 x + 5 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.1.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.2.1.1.5.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 6 x + 5 + 0$

Paso 2.2.1.1.5.2

Suma $- 6 x + 5$ y $0$ .

$- 6 x + 5$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 2.2.2

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

$- \ln (| - 3 x^{2} + 5 x + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 2.3

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$- \ln (| - 3 x^{2} + 5 x + 1 |) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \ln (| - 3 x^{2} + 5 x + 1 |) = \ln (| y |) + C$