Cálculo Ejemplos

$\frac{3 y^{2} + 1}{y^{3} + y} \cdot \frac{d y}{d x} = 2 x$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$\frac{3 y^{2} + 1}{y^{3} + y} \cdot d y = 2 x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{3 y^{2} + 1}{y^{3} + y} d y = \int 2 x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = y^{3} + y$ . Entonces $d u = (3 y^{2} + 1) d y$ , de modo que $\frac{1}{3 y^{2} + 1} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = y^{3} + y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y^{3} + y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} + y]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 y^{2} + 1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 x d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{3} + y$ .

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y^{3} + y |) = x^{2} + C$