Cálculo Ejemplos

$y^{2} \frac{d y}{d t} = \sin (2 t)$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$y^{2} d y = \sin (2 t) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} d y = \int \sin (2 t) d t$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \sin (2 t) d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 2.3.1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.3.1.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.2

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Paso 2.3.4

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} (- \cos (u) + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Simplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C_{2}$

Paso 2.3.5.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (u)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{\cos (u)}{2} + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{\cos (2 t)}{2} + C_{2}$

Paso 2.3.7

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cos (2 t) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{2} \cos (2 t) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{2} \cos (2 t) + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} \cos (2 t) + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} \cos (2 t) + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{2} \cos (2 t) + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (- \frac{1}{2} \cos (2 t) + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\cos (2 t)$ y $\frac{1}{2}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{\cos (2 t)}{2} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 (- \frac{\cos (2 t)}{2}) + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $3 (- \frac{\cos (2 t)}{2})$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{\cos (2 t)}{2} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Combina $- 3$ y $\frac{\cos (2 t)}{2}$ .

$y^{3} = \frac{- 3 \cos (2 t)}{2} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{3} = - \frac{3 \cos (2 t)}{2} + 3 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 \cos (2 t)}{2} + 3 K}$

Paso 3.4

Factoriza $3$ de $- \frac{3 \cos (2 t)}{2} + 3 K$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $3$ de $- \frac{3 \cos (2 t)}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{\cos (2 t)}{2}) + 3 K}$

Paso 3.4.2

Factoriza $3$ de $3 (- \frac{\cos (2 t)}{2}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{\cos (2 t)}{2} + K)}$