Cálculo Ejemplos

cari $\frac{d y}{d x}$ jika $4 x y - 3 y = 1$

Paso 1

Escribe el problema como una expresión matemática.

$\frac{d y}{d x} \cdot 4 x y - 3 y = 1$

Paso 2

Separa las variables.

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Paso 2.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 2.1.1

Mueve $4$ a la izquierda de $\frac{d y}{d x}$ .

$4 \frac{d y}{d x} x y - 3 y = 1$

Paso 2.1.2

Suma $3 y$ a ambos lados de la ecuación.

$4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$

Paso 2.1.3

Divide cada término en $4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$ por $4 x y$ y simplifica.

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Paso 2.1.3.1

Divide cada término en $4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$ por $4 x y$ .

$\frac{4 \frac{d y}{d x} x y}{4 x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Paso 2.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \frac{d y}{d x} x y}{4 x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Paso 2.1.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x} x y}{x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Paso 2.1.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} x y}{x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Paso 2.1.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x} y}{y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Paso 2.1.3.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.1.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} y}{y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Paso 2.1.3.2.3.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Paso 2.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.3.3.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.1.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Paso 2.1.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3}{4 x}$

Paso 2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.1

Para escribir $\frac{3}{4 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3}{4 x} \cdot \frac{y}{y}$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{3}{4 x}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Paso 2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 3 y}{4 x y}$

Paso 2.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 3 y}{4 y} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 2.4

Multiplica ambos lados por $\frac{4 y}{1 + 3 y}$ .

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} (\frac{1 + 3 y}{4 y} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Multiplica $\frac{1 + 3 y}{4 y}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y x}$

Paso 2.5.2

Cancela el factor común de $4 y$ .

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Paso 2.5.2.1

Factoriza $4 y$ de $4 y x$ .

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y (x)}$

Paso 2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y x}$

Paso 2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{x}$

Paso 2.5.3

Cancela el factor común de $1 + 3 y$ .

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Paso 2.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{x}$

Paso 2.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 2.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} d y = \frac{1}{x} d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{4 y}{1 + 3 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \frac{y}{1 + 3 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.2

Reordena $1$ y $3 y$ .

$4 \int \frac{y}{3 y + 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.3

Divide $y$ por $3 y + 1$ .

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Paso 3.2.3.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$3 y$

$1$

$y$

$0$

Paso 3.2.3.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $y$ por el término de mayor orden en el divisor $3 y$ .

					$\frac{1}{3}$
	$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Paso 3.2.3.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$\frac{1}{3}$

Paso 3.2.3.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $y + \frac{1}{3}$ .

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{3}$

Paso 3.2.3.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{3}$
					-	$\frac{1}{3}$

Paso 3.2.3.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$4 \int \frac{1}{3} - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.4

Divide la única integral en varias integrales.

$4 (\int \frac{1}{3} d y + \int - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.5

Aplica la regla de la constante.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} + \int - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} - \int \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.7

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 y + 1} d y)) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $y$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 y + 1} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.9

Sea $u = 3 y + 1$ . Entonces $d u = 3 d y$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.2.9.1

Deja $u = 3 y + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 3.2.9.1.1

Diferencia $3 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [3 y + 1]$

Paso 3.2.9.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 3.2.9.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Paso 3.2.9.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $y$ es $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 3.2.9.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 3.2.9.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 3.2.9.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.2.9.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 3.2.9.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 3.2.9.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.10

Simplifica.

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Paso 3.2.10.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.10.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.11

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.12

Simplifica.

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Paso 3.2.12.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.12.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{9} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.13

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{9} (\ln (| u |) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.14

Simplifica.

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| u |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.15

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 y + 1$ .

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) = \ln (| x |) + C$