Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \sqrt{y}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de Bernoulli.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2

Factoriza $y$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.3

Reordena $y$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Para resolver la ecuación diferencial, sea $v = y^{1 - n}$ donde $n$ es el exponente de $y^{\frac{1}{2}}$ .

$v = y^{\frac{1}{2}}$

Paso 3

Resuelve la ecuación en $y$ .

$y = v^{2}$

Paso 4

Calcula la derivada de $y$ con respecto a $x$ .

$y' = v^{2}$

Paso 5

Calcula la derivada de $v^{2}$ con respecto a $x$ .

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Paso 5.1

Calcula la derivada de $v^{2}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = v$ .

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Paso 5.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $v$ .

$y' = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

Paso 5.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y' = 2 u \frac{d}{d x} [v]$

Paso 5.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $v$ .

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

Paso 5.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = 2 v v'$

Paso 6

Sustituye $2 v v'$ por $\frac{d y}{d x}$ y $v^{2}$ por $y$ en la ecuación original $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 v v' + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 7

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Paso 7.1.1

Divide cada término en $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $2 v$ y simplifica.

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Paso 7.1.1.1

Divide cada término en $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $2 v$ .

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.1.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.2

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 7.1.1.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.2.2

Divide $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.3

Cancela el factor común de $v^{2}$ y $v$ .

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Paso 7.1.1.2.1.3.1

Factoriza $v$ de $\frac{1}{x} v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.1.1.2.1.3.2.1

Factoriza $v$ de $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{1}{x} v}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.4

Combina $\frac{1}{x}$ y $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{v}{x}}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.6

Multiplica $\frac{v}{x}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.2.1.7

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Paso 7.1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1.1.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 7.1.1.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{2 (\frac{1}{2})}}{2 v}$

Paso 7.1.1.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.1.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{2 (\frac{1}{2})}}{2 v}$

Paso 7.1.1.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{1}}{2 v}$

Paso 7.1.1.3.1.2

Simplifica.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v}{2 v}$

Paso 7.1.1.3.2

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 7.1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v}{2 v}$

Paso 7.1.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{1}{2}$

Paso 7.1.2

Factoriza $v$ de $\frac{v}{2 x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{2 x} = \frac{1}{2}$

Paso 7.1.3

Reordena $v$ y $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{2 x} v = \frac{1}{2}$

Paso 7.2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{1}{2 x}$ .

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Paso 7.2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$

Paso 7.2.2

Integra $\frac{1}{2 x}$ .

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Paso 7.2.2.1

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 7.2.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Paso 7.2.2.3

Simplifica.

$e^{\frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

Paso 7.2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\frac{1}{2} \ln (x)}$

Paso 7.2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 7.2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{\frac{1}{2}}$

Paso 7.3

Multiplica cada término por el factor integrador $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 7.3.1

Multiplica cada término por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x} v) = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Paso 7.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.2.1

Combina $\frac{1}{2 x}$ y $v$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + x^{\frac{1}{2}} \frac{v}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Paso 7.3.2.2

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{v}{2 x}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} v}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Paso 7.3.2.3

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Paso 7.3.2.4

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.2.4.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x)} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Paso 7.3.2.4.2

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 7.3.2.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Paso 7.3.2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{- \frac{1}{2} + 1}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Paso 7.3.2.4.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Paso 7.3.2.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Paso 7.3.2.4.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Paso 7.3.3

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 7.4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} v] = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 7.5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} v] d x = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} d x$

Paso 7.6

Integra el lado izquierdo.

$x^{\frac{1}{2}} v = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} d x$

Paso 7.7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.7.1

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 7.7.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 7.7.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.7.3.1

Reescribe $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7.7.3.2

Simplifica.

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Paso 7.7.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7.7.3.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7.7.3.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 7.7.3.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 (1)}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7.7.3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.7.3.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7.7.3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7.7.3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7.8

Divide cada término en $x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ por $x^{\frac{1}{2}}$ y simplifica.

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Paso 7.8.1

Divide cada término en $x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} v}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.8.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} v}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.8.2.2

Divide $v$ por $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.8.3.1.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.8.3.1.2

Multiplica $x^{\frac{3}{2}}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.8.3.1.2.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$v = \frac{1}{3} (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.8.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$v = \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.8.3.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 + 3}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.8.3.1.2.4

Suma $- 1$ y $3$ .

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{2}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.8.3.1.2.5

Divide $2$ por $2$ .

$v = \frac{1}{3} x^{1} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.8.3.1.3

Simplifica $\frac{1}{3} x^{1}$ .

$v = \frac{1}{3} x + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.8.3.1.4

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$v = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8

Sustituye $y^{\frac{1}{2}}$ por $v$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$