Cálculo Ejemplos

$y d x + x^{3} d y = 0$

Paso 1

Resta $y d x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} d y = - y d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x^{3} y}$ .

$\frac{1}{x^{3} y} x^{3} d y = \frac{1}{x^{3} y} (- y) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{3} y$ .

$\frac{1}{x^{3} (y)} x^{3} d y = \frac{1}{x^{3} y} (- y) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{3} y} x^{3} d y = \frac{1}{x^{3} y} (- y) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x^{3} y} (- y) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x^{3} y} y d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{3} y}$ al numerador.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{3} y} y d x$

Paso 3.3.2

Factoriza $y$ de $x^{3} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y x^{3}} y d x$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y x^{3}} y d x$

Paso 3.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{3}} d x$

Paso 3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 4.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 4.3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.3.2.1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Paso 4.3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Paso 4.3.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int x^{- 3} d x$

Paso 4.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2})$

Paso 4.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.3.4.1

Simplifica.

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Paso 4.3.4.1.1

Combina $x^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2})$

Paso 4.3.4.1.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2})$

Paso 4.3.4.2

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Paso 4.3.4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Paso 4.3.4.3.2

Multiplica $\frac{1}{2 x^{2}}$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$

Paso 5.2

Reescribe $\ln (| y |) = \frac{1}{2 x^{2}} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C} = | y |$

Paso 5.3

Resuelve $y$

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Paso 5.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$

Paso 5.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$

Paso 6

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.1

Reescribe $e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$ como $e^{\frac{1}{2 x^{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{1}{2 x^{2}}} e^{C}$

Paso 6.2

Reordena $e^{\frac{1}{2 x^{2}}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{1}{2 x^{2}}}$

Paso 6.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{\frac{1}{2 x^{2}}}$