Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d y} + 1 = e^{x + y}$

Paso 1

Sea $v = e^{x + y}$ . Sustituye $v$ por todos los casos de $e^{x + y}$ .

$\frac{d x}{d y} + 1 = v$

Paso 2

Obtén $\frac{d v}{d y}$ mediante la diferenciación de $e^{x + y}$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = x + y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + y$ .

$\frac{d v}{d y} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x + y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{u} \frac{d}{d y} [x + y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} \frac{d}{d y} [x + y]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (x' + \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (x' + 1)$

Paso 3

Sustituye $v$ por $e^{x + y}$ .

$\frac{d v}{d y} = v (x' + 1)$

Paso 4

Vuelve a sustituir la derivada en la ecuación diferencial.

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Paso 4.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} + 0 = v$

Paso 4.2

Suma $\frac{\frac{d v}{d y}}{v}$ y $0$ .

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} = v$

Paso 5

Separa las variables.

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Paso 5.1

Resuelve $\frac{d v}{d y}$

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Paso 5.1.1

Multiplica ambos lados por $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} v = v \cdot v$

Paso 5.1.2

Simplifica.

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Paso 5.1.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.2.1.1

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 5.1.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} v = v \cdot v$

Paso 5.1.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d y} = v \cdot v$

Paso 5.1.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.2.2.1

Multiplica $v$ por $v$ .

$\frac{d v}{d y} = v^{2}$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $v^{2}$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = 1$

Paso 5.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{v^{2}} d v = 1 d y$

Paso 6

Integra ambos lados.

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Paso 6.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int d y$

Paso 6.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.2.1.1

Mueve $v^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int d y$

Paso 6.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(v^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int d y$

Paso 6.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int d y$

Paso 6.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $v^{- 2}$ con respecto a $v$ es $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int d y$

Paso 6.2.3

Reescribe $- v^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{v} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int d y$

Paso 6.3

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = y + C_{2}$

Paso 6.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{v} = y + K$

Paso 7

Resuelve $v$

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Paso 7.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 7.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$v, 1, 1$

Paso 7.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$v$

Paso 7.2

Multiplica cada término en $- \frac{1}{v} = y + K$ por $v$ para eliminar las fracciones.

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Paso 7.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{v} = y + K$ por $v$ .

$- \frac{1}{v} v = y v + K v$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{v}$ al numerador.

$\frac{- 1}{v} v = y v + K v$

Paso 7.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{v} v = y v + K v$

Paso 7.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = y v + K v$

Paso 7.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 7.3.1

Reescribe la ecuación como $y v + K v = - 1$ .

$y v + K v = - 1$

Paso 7.3.2

Factoriza $v$ de $y v + K v$ .

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Paso 7.3.2.1

Factoriza $v$ de $y v$ .

$v y + K v = - 1$

Paso 7.3.2.2

Factoriza $v$ de $K v$ .

$v y + v K = - 1$

Paso 7.3.2.3

Factoriza $v$ de $v y + v K$ .

$v (y + K) = - 1$

Paso 7.3.3

Divide cada término en $v (y + K) = - 1$ por $y + K$ y simplifica.

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Paso 7.3.3.1

Divide cada término en $v (y + K) = - 1$ por $y + K$ .

$\frac{v (y + K)}{y + K} = \frac{- 1}{y + K}$

Paso 7.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.3.2.1

Cancela el factor común de $y + K$ .

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Paso 7.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{v (y + K)}{y + K} = \frac{- 1}{y + K}$

Paso 7.3.3.2.1.2

Divide $v$ por $1$ .

$v = \frac{- 1}{y + K}$

Paso 7.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$v = - \frac{1}{y + K}$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $v$ con $e^{x + y}$ .

$e^{x + y} = - \frac{1}{y + K}$

Paso 9

Resuelve $x$

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Paso 9.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x + y}) = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Paso 9.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Expande $\ln (e^{x + y})$ ; para ello, mueve $x + y$ fuera del logaritmo.

$(x + y) \ln (e) = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Paso 9.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(x + y) \cdot 1 = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Paso 9.2.3

Multiplica $x + y$ por $1$ .

$x + y = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Paso 9.3

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \ln (- \frac{1}{y + K}) - y$