Cálculo Ejemplos

$x d y - (x^{2} y^{2} + y) d x = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reescribe.

$- (x^{2} y^{2} + y) d x + x d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = - (x^{2} y^{2} + y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} y^{2} + y)]$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- (x^{2} y^{2} + y)$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2} + y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2} + y]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} y^{2} + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.4

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2} y^{2}$ con respecto a $y$ es $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 \cdot x^{2} y + \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x^{2} y + 1)$

Paso 2.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x^{2} y) - 1 \cdot 1$

Paso 2.8.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (x^{2} y) - 1 \cdot 1$

Paso 2.8.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x^{2} y - 1$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Sustituye $- 2 x^{2} y - 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x^{2} y - 1 = 1$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$- 2 x^{2} y - 1 = 1$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Sustituye $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 5.2

Sustituye $- 2 x^{2} y - 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - (- 2 x^{2} y - 1)}{M}$

Paso 5.3

Sustituye $- (x^{2} y^{2} + y)$ por $M$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Sustituye $- (x^{2} y^{2} + y)$ por $M$ .

$\frac{1 - (- 2 x^{2} y - 1)}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 - (- 2 x^{2} y) - - 1}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{1 + 2 (x^{2} y) - - 1}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Paso 5.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 + 2 (x^{2} y) + 1}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Paso 5.3.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Paso 5.3.2.5

Factoriza $2$ de $2 x^{2} y + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.5.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} y$ .

$\frac{2 (x^{2} y) + 2}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Paso 5.3.2.5.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (x^{2} y) + 2 (1)}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Paso 5.3.2.5.3

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} y) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Paso 5.3.3

Factoriza $y$ de $x^{2} y^{2} + y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Factoriza $y$ de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- (y (x^{2} y) + y)}$

Paso 5.3.3.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- (y (x^{2} y) + y^{1})}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- (y (x^{2} y) + y \cdot 1)}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $y$ de $y (x^{2} y) + y \cdot 1$ .

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- (y (x^{2} y + 1))}$

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- y (x^{2} y + 1)}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $x^{2} y + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- y (x^{2} y + 1)}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{- y}$

Paso 5.3.5

Sustituye $- (x^{2} y^{2} + y)$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Paso 6.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Paso 6.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 6.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Paso 6.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Paso 6.6

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.1

Simplifica $- 2 \ln (| y |)$ al mover $- 2$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Paso 6.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Paso 6.6.3

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{- 2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Paso 6.6.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $- (x^{2} y^{2} + y) d x + x d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y^{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Multiplica $- (x^{2} y^{2} + y)$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- (x^{2} y^{2} + y) \frac{1}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(- (x^{2} y^{2}) - y) \frac{1}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Paso 7.3

Multiplica $- x^{2} y^{2} - y$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} y^{2} - y}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Paso 7.4

Factoriza $y$ de $- x^{2} y^{2} - y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.1

Factoriza $y$ de $- x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y (- x^{2} y) - y}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Paso 7.4.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$\frac{y (- x^{2} y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Paso 7.4.3

Factoriza $y$ de $y (- x^{2} y) + y \cdot - 1$ .

$\frac{y (- x^{2} y - 1)}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Paso 7.5

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{y (- x^{2} y - 1)}{y \cdot y} d x + x d y = 0$

Paso 7.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{y (- x^{2} y - 1)}{y \cdot y} d x + x d y = 0$

Paso 7.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x^{2} y - 1}{y} d x + x d y = 0$

Paso 7.6

Factoriza $- 1$ de $- x^{2} y$ .

$\frac{- (x^{2} y) - 1}{y} d x + x d y = 0$

Paso 7.7

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (x^{2} y) - 1 (1)}{y} d x + x d y = 0$

Paso 7.8

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} y) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x^{2} y + 1)}{y} d x + x d y = 0$

Paso 7.9

Reescribe $- (x^{2} y + 1)$ como $- 1 (x^{2} y + 1)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} y + 1)}{y} d x + x d y = 0$

Paso 7.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2} y + 1}{y} d x + x d y = 0$

Paso 7.11

Multiplica $x$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} y + 1}{y} d x + x \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Paso 7.12

Combina $x$ y $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} y + 1}{y} d x + \frac{x}{y^{2}} d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y^{2}} d y$

Paso 9

Integra $N (x, y) = \frac{x}{y^{2}}$ para obtener $f (x, y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Dado que $x$ es constante con respecto a $y$ , mueve $x$ fuera de la integral.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Paso 9.2

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$f (x, y) = x \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Paso 9.3

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = x \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Paso 9.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = x \int y^{- 2} d y$

Paso 9.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$f (x, y) = x (- y^{- 1} + C)$

Paso 9.5

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.5.1

Reescribe $x (- y^{- 1} + C)$ como $x (- \frac{1}{y}) + C$ .

$f (x, y) = x (- \frac{1}{y}) + C$

Paso 9.5.2

Combina $x$ y $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + C$

Paso 10

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (x)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y} + g (x)] = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{x}{y} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.1

Como $- \frac{1}{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x}{y}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Paso 12.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Paso 12.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Paso 12.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{y} = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.1

Suma $\frac{x^{2} y + 1}{y}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{y} + \frac{x^{2} y + 1}{y} = 0$

Paso 13.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1 + x^{2} y + 1}{y} = 0$

Paso 13.1.1.3

Combina los términos opuestos en $- 1 + x^{2} y + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.3.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} y + 0}{y} = 0$

Paso 13.1.1.3.2

Suma $x^{2} y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} y}{y} = 0$

Paso 13.1.1.4

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} y}{y} = 0$

Paso 13.1.1.4.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + x^{2} = 0$

Paso 13.1.2

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = - x^{2}$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $- x^{2}$ y obtén $g (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = - x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{2} d x$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{2} d x$

Paso 14.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (x) = - \int x^{2} d x$

Paso 14.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 14.5

Reescribe $- (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $- \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Paso 15

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Paso 16

Combina $x^{3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} - \frac{x^{3}}{3} + C$