Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = c_{1} x^{2} + c_{2} e^{2 x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (c_{1} x^{2} + c_{2} e^{2 x}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int c_{1} x^{2} + c_{2} e^{2 x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int c_{1} x^{2} + c_{2} e^{2 x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int c_{1} x^{2} d x + \int c_{2} e^{2 x} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $c_{1}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $c_{1}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = c_{1} \int x^{2} d x + \int c_{2} e^{2 x} d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int c_{2} e^{2 x} d x$

Paso 2.3.4

Dado que $c_{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $c_{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + c_{2} \int e^{2 x} d x$

Paso 2.3.5

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.5.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.5.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.5.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.3.5.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.3.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + c_{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + c_{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.6.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + c_{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 2.3.7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + c_{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Paso 2.3.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $c_{2}$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + \frac{c_{2}}{2} \int e^{u} d u$

Paso 2.3.9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + \frac{c_{2}}{2} (e^{u} + C_{3})$

Paso 2.3.10

Simplifica.

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Paso 2.3.10.1

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{c_{1} x^{3}}{3} + \frac{c_{2}}{2} e^{u} + C_{4}$

Paso 2.3.10.2

Combina $\frac{c_{2}}{2}$ y $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{c_{1} x^{3}}{3} + \frac{c_{2} e^{u}}{2} + C_{4}$

Paso 2.3.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} c_{1} x^{3} + \frac{1}{2} c_{2} e^{2 x} + C_{4}$

Paso 2.3.12

Reordena los términos.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} c_{1} + \frac{1}{2} e^{2 x} c_{2} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} c_{1} + \frac{1}{2} e^{2 x} c_{2} + K$