Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 6 e^{5 x}$ ; with $y (0) = 5$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 3$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int 3 d x}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{3 x + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{3 x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{3 x}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (6 e^{5 x})$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (6 e^{5 x})$

Paso 2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{3 x} e^{5 x}$

Paso 2.4

Multiplica $e^{3 x}$ por $e^{5 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.1

Mueve $e^{5 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 (e^{5 x} e^{3 x})$

Paso 2.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{5 x + 3 x}$

Paso 2.4.3

Suma $5 x$ y $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{8 x}$

Paso 2.5

Reordena los factores en $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{8 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 6 e^{8 x}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 6 e^{8 x}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 6 e^{8 x} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{3 x} y = \int 6 e^{8 x} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$e^{3 x} y = 6 \int e^{8 x} d x$

Paso 6.2

Sea $u = 8 x$ . Entonces $d u = 8 d x$ , de modo que $\frac{1}{8} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.1

Deja $u = 8 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.2.1.1

Diferencia $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 6.2.1.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $8$ por $1$ .

$8$

Paso 6.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{3 x} y = 6 \int e^{u} \frac{1}{8} d u$

Paso 6.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{8}$ .

$e^{3 x} y = 6 \int \frac{e^{u}}{8} d u$

Paso 6.4

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$e^{3 x} y = 6 (\frac{1}{8} \int e^{u} d u)$

Paso 6.5

Simplifica.

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Paso 6.5.1

Combina $\frac{1}{8}$ y $6$ .

$e^{3 x} y = \frac{6}{8} \int e^{u} d u$

Paso 6.5.2

Cancela el factor común de $6$ y $8$ .

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Paso 6.5.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 (3)}{8} \int e^{u} d u$

Paso 6.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int e^{u} d u$

Paso 6.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$e^{3 x} y = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int e^{u} d u$

Paso 6.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{3 x} y = \frac{3}{4} \int e^{u} d u$

Paso 6.6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{3 x} y = \frac{3}{4} (e^{u} + C)$

Paso 6.7

Simplifica.

$e^{3 x} y = \frac{3}{4} e^{u} + C$

Paso 6.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 x$ .

$e^{3 x} y = \frac{3}{4} e^{8 x} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{3 x} y = \frac{3}{4} e^{8 x} + C$ por $e^{3 x}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{3 x} y = \frac{3}{4} e^{8 x} + C$ por $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{3}{4} e^{8 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{3 x}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{3}{4} e^{8 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{3}{4} e^{8 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{8 x}$ y $e^{3 x}$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Factoriza $e^{3 x}$ de $\frac{3}{4} e^{8 x}$ .

$y = \frac{e^{3 x} (\frac{3}{4} e^{5 x})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{e^{3 x} (\frac{3}{4} e^{5 x})}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{e^{3 x} (\frac{3}{4} e^{5 x})}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{3}{4} e^{5 x}}{1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.1.1.2.4

Divide $\frac{3}{4} e^{5 x}$ por $1$ .

$y = \frac{3}{4} e^{5 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.1.2

Combina $\frac{3}{4}$ y $e^{5 x}$ .

$y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $5$ por $y$ en $y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{C}{e^{3 x}}$ .

$5 = \frac{3 e^{5 \cdot 0}}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}}$

Paso 9

Resuelve $C$

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Paso 9.1

Reescribe la ecuación como $\frac{3 e^{5 \cdot 0}}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$ .

$\frac{3 e^{5 \cdot 0}}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$

Paso 9.2

Simplifica $\frac{3 e^{5 \cdot 0}}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}}$ .

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Paso 9.2.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{3 e^{0}}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$

Paso 9.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{3 \cdot 1}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$

Paso 9.2.2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$

Paso 9.2.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.2.3.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{3}{4} + \frac{C}{e^{0}} = 5$

Paso 9.2.2.3.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{C}{1} = 5$

Paso 9.2.2.4

Divide $C$ por $1$ .

$\frac{3}{4} + C = 5$

Paso 9.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.3.1

Resta $\frac{3}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 5 - \frac{3}{4}$

Paso 9.3.2

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$C = 5 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

Paso 9.3.3

Combina $5$ y $\frac{4}{4}$ .

$C = \frac{5 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4}$

Paso 9.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$C = \frac{5 \cdot 4 - 3}{4}$

Paso 9.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 9.3.5.1

Multiplica $5$ por $4$ .

$C = \frac{20 - 3}{4}$

Paso 9.3.5.2

Resta $3$ de $20$ .

$C = \frac{17}{4}$

Paso 10

Sustituye $\frac{17}{4}$ por $C$ en $y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{C}{e^{3 x}}$ y simplifica.

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Paso 10.1

Sustituye $\frac{17}{4}$ por $C$ .

$y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{\frac{17}{4}}{e^{3 x}}$

Paso 10.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{17}{4} \cdot \frac{1}{e^{3 x}}$

Paso 10.2.2

Combinar.

$y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{17 \cdot 1}{4 e^{3 x}}$

Paso 10.2.3

Multiplica $17$ por $1$ .

$y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{17}{4 e^{3 x}}$