Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2}$ , $y (π) = - 5$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{{(2 + y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} (\sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2})$

Paso 1.2

Cancela el factor común de ${(2 + y)}^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza ${(2 + y)}^{2}$ de $\sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} ({(2 + y)}^{2} \sec^{2} (x))$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} ({(2 + y)}^{2} \sec^{2} (x))$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \sec^{2} (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 2 + y$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 2 + y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 2.2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.2.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 2.2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 2.2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 2.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 2.2.4

Reescribe $- u^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 2.2.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 2.3

Como la derivada de $\tan (x)$ es $\sec^{2} (x)$ , la integral de $\sec^{2} (x)$ es $\tan (x)$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 + y, 1, 1$

Paso 3.1.2

Elimina los paréntesis.

$2 + y, 1, 1$

Paso 3.1.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$2 + y$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$ por $2 + y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$ por $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $2 + y$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2 + y}$ al numerador.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Paso 3.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 = \tan (x) \cdot 2 + \tan (x) y + K (2 + y)$

Paso 3.2.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\tan (x)$ .

$- 1 = 2 \cdot \tan (x) + \tan (x) y + K (2 + y)$

Paso 3.2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 = 2 \tan (x) + \tan (x) y + K \cdot 2 + K y$

Paso 3.2.3.1.4

Mueve $2$ a la izquierda de $K$ .

$- 1 = 2 \tan (x) + \tan (x) y + 2 K + K y$

Paso 3.2.3.2

Reordena los factores en $2 \tan (x) + \tan (x) y + 2 K + K y$ .

$- 1 = 2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y = - 1$ .

$2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y = - 1$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $2 \tan (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$y \tan (x) + 2 K + K y = - 1 - 2 \tan (x)$

Paso 3.3.2.2

Resta $2 K$ de ambos lados de la ecuación.

$y \tan (x) + K y = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Paso 3.3.3

Factoriza $y$ de $y \tan (x) + K y$ .

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $y$ de $y \tan (x)$ .

$y (\tan (x)) + K y = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Paso 3.3.3.2

Factoriza $y$ de $K y$ .

$y (\tan (x)) + y K = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Paso 3.3.3.3

Factoriza $y$ de $y (\tan (x)) + y K$ .

$y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Paso 3.3.4

Divide cada término en $y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$ por $\tan (x) + K$ y simplifica.

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Paso 3.3.4.1

Divide cada término en $y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$ por $\tan (x) + K$ .

$\frac{y (\tan (x) + K)}{\tan (x) + K} = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Paso 3.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.4.2.1

Cancela el factor común de $\tan (x) + K$ .

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Paso 3.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (\tan (x) + K)}{\tan (x) + K} = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Paso 3.3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Paso 3.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.4.3.1

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.4.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.4.3.1.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Paso 3.3.4.3.1.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} - \frac{2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Paso 3.3.4.3.1.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} - \frac{2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Paso 3.3.4.3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 1 - 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Paso 3.3.4.3.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.4.3.1.3.1

Factoriza $- 1$ de $- 1 - 2 \tan (x)$ .

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Paso 3.3.4.3.1.3.1.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Paso 3.3.4.3.1.3.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 \tan (x)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - (2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Paso 3.3.4.3.1.3.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (2 \tan (x))$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Paso 3.3.4.3.1.3.1.4

Reescribe $- 1 (1 + 2 \tan (x))$ como $- (1 + 2 \tan (x))$ .

$y = \frac{- (1 + 2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Paso 3.3.4.3.1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Paso 3.3.4.3.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- (1 + 2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Paso 3.3.4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Paso 3.3.4.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = \frac{- 1 - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Paso 3.3.4.3.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 1 - 2 \tan (x) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Paso 3.3.4.3.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.3.4.3.3.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - 2 \tan (x) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Paso 3.3.4.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 \tan (x)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Paso 3.3.4.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (2 \tan (x))$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Paso 3.3.4.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- 2 K$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x)) - (2 K)}{\tan (x) + K}$

Paso 3.3.4.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1 + 2 \tan (x)) - (2 K)$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x) + 2 K)}{\tan (x) + K}$

Paso 3.3.4.3.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + 2 K}{\tan (x) + K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $π$ por $x$ y de $- 5$ por $y$ en $y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$ .

$- 5 = - \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K}$

Paso 6

Resuelve $K$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K} = - 5$ .

$- \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Paso 6.2

Factoriza cada término.

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Paso 6.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la tangente es negativa en el segundo cuadrante.

$- \frac{1 + 2 (- \tan (0)) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Paso 6.2.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$- \frac{1 + 2 (- 0) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Paso 6.2.3

Multiplica $2 (- 0)$ .

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Paso 6.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- \frac{1 + 2 \cdot 0 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$- \frac{1 + 0 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Paso 6.2.4

Suma $1$ y $0$ .

$- \frac{1 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Paso 6.2.5

$- \frac{1 + K}{- \tan (0) + K} = - 5$

Paso 6.2.6

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$- \frac{1 + K}{- 0 + K} = - 5$

Paso 6.2.7

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- \frac{1 + K}{0 + K} = - 5$

Paso 6.2.8

Suma $0$ y $K$ .

$- \frac{1 + K}{K} = - 5$

Paso 6.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$K, 1$

Paso 6.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$K$

Paso 6.4

Multiplica cada término en $- \frac{1 + K}{K} = - 5$ por $K$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{1 + K}{K} = - 5$ por $K$ .

$- \frac{1 + K}{K} K = - 5 K$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.1

Cancela el factor común de $K$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1 + K}{K}$ al numerador.

$\frac{- (1 + K)}{K} K = - 5 K$

Paso 6.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- (1 + K)}{K} K = - 5 K$

Paso 6.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- (1 + K) = - 5 K$

Paso 6.4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 \cdot 1 - K = - 5 K$

Paso 6.4.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 - K = - 5 K$

Paso 6.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.5.1

Mueve todos los términos que contengan $K$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.5.1.1

Suma $5 K$ a ambos lados de la ecuación.

$- 1 - K + 5 K = 0$

Paso 6.5.1.2

Suma $- K$ y $5 K$ .

$- 1 + 4 K = 0$

Paso 6.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 K = 1$

Paso 6.5.3

Divide cada término en $4 K = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 6.5.3.1

Divide cada término en $4 K = 1$ por $4$ .

$\frac{4 K}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 6.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 K}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 6.5.3.2.1.2

Divide $K$ por $1$ .

$K = \frac{1}{4}$

Paso 7

Sustituye $\frac{1}{4}$ por $K$ en $y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $\frac{1}{4}$ por $K$ .

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K}$

Paso 7.2

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $4$ .

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = - (\frac{4}{4} \cdot \frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K})$

Paso 7.2.2

Combinar.

$y = - \frac{4 (1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4})}{4 (\tan (x) + K)}$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 4 (\frac{1}{4})}{4 \tan (x) + 4 K}$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.4.1

Cancela el factor común.

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 4 (\frac{1}{4})}{4 \tan (x) + 4 K}$

Paso 7.4.2

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

Paso 7.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.5.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$y = - \frac{4 + 4 \cdot 2 \tan (x) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

Paso 7.5.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$y = - \frac{4 + 8 \tan (x) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

Paso 7.5.3

Suma $4$ y $1$ .

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 \tan (x) + 4 K}$

Paso 7.6

Factoriza $4$ de $4 \tan (x) + 4 K$ .

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Paso 7.6.1

Factoriza $4$ de $4 \tan (x)$ .

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x)) + 4 K}$

Paso 7.6.2

Factoriza $4$ de $4 K$ .

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x)) + 4 (K)}$

Paso 7.6.3

Factoriza $4$ de $4 (\tan (x)) + 4 (K)$ .

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x) + K)}$