Cálculo Ejemplos

$(x^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

Paso 1

Resta $(x^{2} + 1) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y^{2} d y = - (x^{2} + 1) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y^{2} d y = - \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) d x$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} d y = (- \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{2}}$ al numerador.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Paso 3.4.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} d y = (- 1 - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Paso 3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y^{2} d y = (- 1 - \frac{1}{x^{2}}) d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} d y = \int - 1 - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4.3.2

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4.3.4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.3.4.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 4.3.4.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 4.3.4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int x^{- 2} d x$

Paso 4.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - (- x^{- 1} + C_{3})$

Paso 4.3.6

Simplifica.

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Paso 4.3.6.1

Simplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x - - \frac{1}{x} + C_{4}$

Paso 4.3.6.2

Simplifica.

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Paso 4.3.6.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + 1 \frac{1}{x} + C_{4}$

Paso 4.3.6.2.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + \frac{1}{x} + C_{4}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - x + \frac{1}{x} + K$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Paso 5.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Paso 5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $3 (- x + \frac{1}{x} + K)$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 (- x) + 3 \frac{1}{x} + 3 K$

Paso 5.2.2.1.2

Simplifica.

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Paso 5.2.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y^{3} = - 3 x + 3 \frac{1}{x} + 3 K$

Paso 5.2.2.1.2.2

Combina $3$ y $\frac{1}{x}$ .

$y^{3} = - 3 x + \frac{3}{x} + 3 K$

Paso 5.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K}$

Paso 5.4

Simplifica $\sqrt[3]{- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K}$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $3$ de $- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K$ .

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Paso 5.4.1.1

Factoriza $3$ de $- 3 x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x) + \frac{3}{x} + 3 K}$

Paso 5.4.1.2

Factoriza $3$ de $\frac{3}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x) + 3 \frac{1}{x} + 3 K}$

Paso 5.4.1.3

Factoriza $3$ de $3 (- x) + 3 \frac{1}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x + \frac{1}{x}) + 3 K}$

Paso 5.4.1.4

Factoriza $3$ de $3 (- x + \frac{1}{x}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x + \frac{1}{x} + K)}$

Paso 5.4.2

Para escribir $- x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} + K)}$

Paso 5.4.3

Simplifica los términos.

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Paso 5.4.3.1

Combina $- x$ y $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x}{x} + \frac{1}{x} + K)}$

Paso 5.4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x + 1}{x} + K)}$

Paso 5.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x + 1^{2}}{x} + K)}$

Paso 5.4.4.2

Reescribe $x \cdot x$ como $x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x^{2} + 1^{2}}{x} + K)}$

Paso 5.4.4.3

Reordena $- x^{2}$ y $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{1^{2} - x^{2}}{x} + K)}$

Paso 5.4.4.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} + K)}$

Paso 5.4.5

Para escribir $K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} + \frac{K x}{x})}$

Paso 5.4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{(1 + x) (1 - x) + K x}{x}}$

Paso 5.4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.7.1

Expande $(1 + x) (1 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.4.7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 (1 - x) + x (1 - x) + K x}{x}}$

Paso 5.4.7.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) + K x}{x}}$

Paso 5.4.7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

Paso 5.4.7.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.4.7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.7.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

Paso 5.4.7.2.1.2

Multiplica $- x$ por $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

Paso 5.4.7.2.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x + x (- x) + K x}{x}}$

Paso 5.4.7.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - x \cdot x + K x}{x}}$

Paso 5.4.7.2.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.7.2.1.5.1

Mueve $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - (x \cdot x) + K x}{x}}$

Paso 5.4.7.2.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - x^{2} + K x}{x}}$

Paso 5.4.7.2.2

Suma $- x$ y $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 + 0 - x^{2} + K x}{x}}$

Paso 5.4.7.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x^{2} + K x}{x}}$

Paso 5.4.8

Combina $3$ y $\frac{1 - x^{2} + K x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (1 - x^{2} + K x)}{x}}$

Paso 5.4.9

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{3 (1 - x^{2} + K x)}{x}}$ como $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$

Paso 5.4.10

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Paso 5.4.11

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.4.11.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Paso 5.4.11.2

Eleva $\sqrt[3]{x}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Paso 5.4.11.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Paso 5.4.11.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Paso 5.4.11.5

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Paso 5.4.11.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 5.4.11.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 5.4.11.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Paso 5.4.11.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.11.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Paso 5.4.11.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Paso 5.4.11.5.5

Simplifica.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Paso 5.4.12

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ como $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Paso 5.4.13

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x) x^{2}}}{x}$

Paso 5.4.14

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (1 - x^{2} + K x)}}{x}$