Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Reescribe $\frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$ como ${(\frac{\sec (x)}{\tan (x)})}^{2}$ .

$y + C_{1} = \int {(\frac{\sec (x)}{\tan (x)})}^{2} d x$

Paso 2.3.2

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$y + C_{1} = \int {(\frac{\sec (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2} d x$

Paso 2.3.3

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$y + C_{1} = \int {(\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2} d x$

Paso 2.3.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} d x$

Paso 2.3.5

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 2.3.5.1

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} d x$

Paso 2.3.5.2

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} d x$

Paso 2.3.6

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) d x$

Paso 2.3.7

Como la derivada de $- \cot (x)$ es $\csc^{2} (x)$ , la integral de $\csc^{2} (x)$ es $- \cot (x)$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - \cot (x) + K$