Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} + 3 y = x^{4} - x$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} + 3 y = x^{4} - x$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x^{4}}{x} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x^{4}}{x} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x^{4}}{x} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x \cdot x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x^{3}}{1} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.3.2.5

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = x^{3} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = x^{3} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.4.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = x^{3} - 1$

Paso 1.5

Factoriza $y$ de $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = x^{3} - 1$

Paso 1.6

Reordena $y$ y $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = x^{3} - 1$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{3}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{3}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{3 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{3})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{3}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $x^{3}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 1$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{3}{x}$ y $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 1$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 1$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 1$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 1$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 1$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Multiplica $x^{3}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3 + 3} + x^{3} \cdot - 1$

Paso 3.3.1.2

Suma $3$ y $3$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{6} + x^{3} \cdot - 1$

Paso 3.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{6} - 1 \cdot x^{3}$

Paso 3.3.3

Reescribe $- 1 x^{3}$ como $- x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{6} - x^{3}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = x^{6} - x^{3}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int x^{6} - x^{3} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$x^{3} y = \int x^{6} - x^{3} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$x^{3} y = \int x^{6} d x + \int - x^{3} d x$

Paso 7.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$x^{3} y = \frac{1}{7} x^{7} + C + \int - x^{3} d x$

Paso 7.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x^{3} y = \frac{1}{7} x^{7} + C - \int x^{3} d x$

Paso 7.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{3} y = \frac{1}{7} x^{7} + C - (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Paso 7.5

Simplifica.

$x^{3} y = \frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{4} x^{4} + C$

Paso 8

Divide cada término en $x^{3} y = \frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{4} x^{4} + C$ por $x^{3}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $x^{3} y = \frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{4} x^{4} + C$ por $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{7} x^{7}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{7} x^{7}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{7} x^{7}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{7}$ y $x^{3}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Factoriza $x^{3}$ de $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$y = \frac{x^{3} (\frac{1}{7} x^{4})}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{x^{3} (\frac{1}{7} x^{4})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{3} (\frac{1}{7} x^{4})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{1}{7} x^{4}}{1} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.1.2.4

Divide $\frac{1}{7} x^{4}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{7} x^{4} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.2

Combina $\frac{1}{7}$ y $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{7} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.3

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x^{3}$ .

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Paso 8.3.1.3.1

Factoriza $x^{3}$ de $- \frac{1}{4} x^{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{7} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{4} x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.3.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{7} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{4} x)}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{4}}{7} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{4} x)}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{4}}{7} + \frac{- \frac{1}{4} x}{1} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.3.2.4

Divide $- \frac{1}{4} x$ por $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{7} - \frac{1}{4} x + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{7} - \frac{x}{4} + \frac{C}{x^{3}}$