Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = 2 t^{3} \sqrt{y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\sqrt{y}} (2 t^{3} \sqrt{y})$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 2 \frac{1}{\sqrt{y}} (t^{3} \sqrt{y})$

Paso 1.2.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 2 (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}) (t^{3} \sqrt{y})$

Paso 1.2.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 2 \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} (t^{3} \sqrt{y})$

Paso 1.2.3.2

Eleva $\sqrt{y}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 2 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} (t^{3} \sqrt{y})$

Paso 1.2.3.3

Eleva $\sqrt{y}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 2 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} (t^{3} \sqrt{y})$

Paso 1.2.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 2 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} (t^{3} \sqrt{y})$

Paso 1.2.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 2 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} (t^{3} \sqrt{y})$

Paso 1.2.3.6

Reescribe ${\sqrt{y}}^{2}$ como $y$ .

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Paso 1.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 2 \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} (t^{3} \sqrt{y})$

Paso 1.2.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 2 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (t^{3} \sqrt{y})$

Paso 1.2.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 2 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (t^{3} \sqrt{y})$

Paso 1.2.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 2 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (t^{3} \sqrt{y})$

Paso 1.2.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 2 \frac{\sqrt{y}}{y^{1}} (t^{3} \sqrt{y})$

Paso 1.2.3.6.5

Simplifica.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 2 \frac{\sqrt{y}}{y} (t^{3} \sqrt{y})$

Paso 1.2.4

Combina $2$ y $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{2 \sqrt{y}}{y} (t^{3} \sqrt{y})$

Paso 1.2.5

Multiplica $\frac{2 \sqrt{y}}{y} (t^{3} \sqrt{y})$ .

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Paso 1.2.5.1

Combina $t^{3}$ y $\frac{2 \sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{t^{3} (2 \sqrt{y})}{y} \sqrt{y}$

Paso 1.2.5.2

Combina $\frac{t^{3} (2 \sqrt{y})}{y}$ y $\sqrt{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{t^{3} (2 \sqrt{y}) \sqrt{y}}{y}$

Paso 1.2.5.3

Eleva $\sqrt{y}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{t^{3} (2 ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}))}{y}$

Paso 1.2.5.4

Eleva $\sqrt{y}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{t^{3} (2 ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}))}{y}$

Paso 1.2.5.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{t^{3} (2 {\sqrt{y}}^{1 + 1})}{y}$

Paso 1.2.5.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{t^{3} (2 {\sqrt{y}}^{2})}{y}$

Paso 1.2.6

Reescribe ${\sqrt{y}}^{2}$ como $y$ .

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Paso 1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{t^{3} \cdot 2 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{y}$

Paso 1.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{t^{3} \cdot 2 y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{y}$

Paso 1.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{t^{3} \cdot 2 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

Paso 1.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{t^{3} \cdot 2 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

Paso 1.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{t^{3} \cdot 2 y^{1}}{y}$

Paso 1.2.6.5

Simplifica.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{t^{3} \cdot 2 y}{y}$

Paso 1.2.7

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{t^{3} \cdot 2 y}{y}$

Paso 1.2.7.2

Divide $t^{3} \cdot 2$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = t^{3} \cdot 2$

Paso 1.2.8

Mueve $2$ a la izquierda de $t^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 2 t^{3}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = 2 t^{3} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 2 t^{3} d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 2 t^{3} d t$

Paso 2.2.1.2

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 2 t^{3} d t$

Paso 2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 2 t^{3} d t$

Paso 2.2.1.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 2 t^{3} d t$

Paso 2.2.1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 2 t^{3} d t$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $y$ es $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 2 t^{3} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int t^{3} d t$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{3}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} t^{4} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{4} t^{4} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{4}) t^{4} + C_{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) t^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2}{4} t^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} t^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} t^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} t^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} t^{4} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} t^{4} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} t^{4} + K$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} t^{4} + K$ por $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} t^{4}}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} t^{4}}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.2.2

Divide $y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2} t^{4}}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{4}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{t^{4}}{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{t^{4}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.3.1.3

Combinar.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{t^{4} \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.3.1.4

Multiplica $t^{4}$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{t^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{t^{4}}{4} + \frac{K}{2}$

Paso 3.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{t^{4}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{t^{4}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{t^{4}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(\frac{t^{4}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.1.2

Simplifica.

$y = {(\frac{t^{4}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${(\frac{t^{4}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Reescribe ${(\frac{t^{4}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$ como $(\frac{t^{4}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{t^{4}}{4} + \frac{K}{2})$ .

$y = (\frac{t^{4}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{t^{4}}{4} + \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.2

Expande $(\frac{t^{4}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{t^{4}}{4} + \frac{K}{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{t^{4}}{4} (\frac{t^{4}}{4} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\frac{t^{4}}{4} + \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{t^{4}}{4} \cdot \frac{t^{4}}{4} + \frac{t^{4}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\frac{t^{4}}{4} + \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{t^{4}}{4} \cdot \frac{t^{4}}{4} + \frac{t^{4}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t^{4}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.3.1.1

Combinar.

$y = \frac{t^{4} t^{4}}{4 \cdot 4} + \frac{t^{4}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t^{4}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.2

Multiplica $t^{4}$ por $t^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.3.1.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{t^{4 + 4}}{4 \cdot 4} + \frac{t^{4}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t^{4}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.2.2

Suma $4$ y $4$ .

$y = \frac{t^{8}}{4 \cdot 4} + \frac{t^{4}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t^{4}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$y = \frac{t^{8}}{16} + \frac{t^{4}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t^{4}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.4

Combinar.

$y = \frac{t^{8}}{16} + \frac{t^{4} K}{4 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t^{4}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.5

Multiplica $4$ por $2$ .

$y = \frac{t^{8}}{16} + \frac{t^{4} K}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t^{4}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.6

Combinar.

$y = \frac{t^{8}}{16} + \frac{t^{4} K}{8} + \frac{K t^{4}}{2 \cdot 4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.7

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \frac{t^{8}}{16} + \frac{t^{4} K}{8} + \frac{K t^{4}}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.8

Multiplica $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1.8.1

Multiplica $\frac{K}{2}$ por $\frac{K}{2}$ .

$y = \frac{t^{8}}{16} + \frac{t^{4} K}{8} + \frac{K t^{4}}{8} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.8.2

Eleva $K$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{t^{8}}{16} + \frac{t^{4} K}{8} + \frac{K t^{4}}{8} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.8.3

Eleva $K$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{t^{8}}{16} + \frac{t^{4} K}{8} + \frac{K t^{4}}{8} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{t^{8}}{16} + \frac{t^{4} K}{8} + \frac{K t^{4}}{8} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.8.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \frac{t^{8}}{16} + \frac{t^{4} K}{8} + \frac{K t^{4}}{8} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.8.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{t^{8}}{16} + \frac{t^{4} K}{8} + \frac{K t^{4}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.3.2

Suma $\frac{t^{4} K}{8}$ y $\frac{K t^{4}}{8}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.2.1

Reordena $t^{4}$ y $K$ .

$y = \frac{t^{8}}{16} + \frac{K t^{4}}{8} + \frac{K t^{4}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.3.2.2

Suma $\frac{K t^{4}}{8}$ y $\frac{K t^{4}}{8}$ .

$y = \frac{t^{8}}{16} + 2 \frac{K t^{4}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$y = \frac{t^{8}}{16} + 2 \frac{K t^{4}}{2 (4)} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{t^{8}}{16} + 2 \frac{K t^{4}}{2 \cdot 4} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{t^{8}}{16} + \frac{K t^{4}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{t^{8}}{16} + \frac{K t^{4}}{4} + K$