Cálculo Ejemplos

$\frac{d y (t)}{d t} = 2 t^{2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza $\frac{d y}{d t}$ .

$t \frac{d y}{d t} = 2 t^{2}$

Paso 1.2

Divide cada término en $t \frac{d y}{d t} = 2 t^{2}$ por $t$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $t \frac{d y}{d t} = 2 t^{2}$ por $t$ .

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{2 t^{2}}{t}$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{2 t^{2}}{t}$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t^{2}}{t}$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Cancela el factor común de $t^{2}$ y $t$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Factoriza $t$ de $2 t^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (2 t)}{t}$

Paso 1.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (2 t)}{t^{1}}$

Paso 1.2.3.1.2.2

Factoriza $t$ de $t^{1}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (2 t)}{t \cdot 1}$

Paso 1.2.3.1.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (2 t)}{t \cdot 1}$

Paso 1.2.3.1.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{1}$

Paso 1.2.3.1.2.5

Divide $2 t$ por $1$ .

$\frac{d y}{d t} = 2 t$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$d y = 2 t d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 2 t d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 2 t d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 2 \int t d t$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} t^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} t^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = 1 t^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3

Multiplica $t^{2}$ por $1$ .

$y + C_{1} = t^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = t^{2} + K$