Cálculo Ejemplos

$y (x - 1) d y + x (y - 1) d x = 0$

Paso 1

Resta $x (y - 1) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$y (x - 1) d y = - x (y - 1) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(x - 1) (y - 1)}$ .

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (y (x - 1)) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x - 1$ de $y (x - 1)$ .

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y - 1} y d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{y - 1}$ y $y$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{y}{y - 1} d y = - \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 3.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{(x - 1) (y - 1)}$ al numerador.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

Paso 3.4.2

Factoriza $y - 1$ de $(x - 1) (y - 1)$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (x - 1)} (x (y - 1)) d x$

Paso 3.4.3

Factoriza $y - 1$ de $x (y - 1)$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (x - 1)} ((y - 1) x) d x$

Paso 3.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (x - 1)} ((y - 1) x) d x$

Paso 3.4.5

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{x - 1} x d x$

Paso 3.5

Combina $\frac{- 1}{x - 1}$ y $x$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- x}{x - 1} d x$

Paso 3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y}{y - 1} d y = - \frac{x}{x - 1} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Divide $y$ por $y - 1$ .

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Paso 4.2.1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Paso 4.2.1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $y$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

					$1$
	$y$	-	$1$		$y$	+	$0$

Paso 4.2.1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	-	$1$

Paso 4.2.1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $y - 1$ .

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	+	$1$

Paso 4.2.1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	+	$1$
					+	$1$

Paso 4.2.1.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int 1 + \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Paso 4.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Paso 4.2.3

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Paso 4.2.4

Sea $u_{1} = y - 1$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.2.4.1

Deja $u_{1} = y - 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 4.2.4.1.1

Diferencia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Paso 4.2.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 4.2.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 4.2.4.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.2.4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2.4.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$y + C_{1} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Paso 4.2.5

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| u_{1} |) + C_{2} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Paso 4.2.6

Simplifica.

$y + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Paso 4.2.7

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y - 1$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x - 1} d x$

Paso 4.3.2

Divide $x$ por $x - 1$ .

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Paso 4.3.2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Paso 4.3.2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$1$
	$x$	-	$1$		$x$	+	$0$

Paso 4.3.2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$1$

Paso 4.3.2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x - 1$ .

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$

Paso 4.3.2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$
					+	$1$

Paso 4.3.2.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - \int 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 4.3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (\int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Paso 4.3.4

Aplica la regla de la constante.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Paso 4.3.5

Sea $u_{2} = x - 1$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.3.5.1

Deja $u_{2} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 4.3.5.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 4.3.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.3.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.3.5.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.3.5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.3.5.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 4.3.6

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (| u_{2} |) + C_{5})$

Paso 4.3.7

Simplifica.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

Paso 4.3.8

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 1$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + \ln (| x - 1 |)) + C_{6}$

Paso 4.3.9

Aplica la propiedad distributiva.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - x - \ln (| x - 1 |) + C_{6}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y + \ln (| y - 1 |) = - x - \ln (| x - 1 |) + C$