Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{x} d y = \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $x y^{2}$ .

$x y^{2} \frac{1}{x} d y = x y^{2} \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $x y^{2}$ .

$x (y^{2}) \frac{1}{x} d y = x y^{2} \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Paso 2.1.2

Cancela el factor común.

$x y^{2} \frac{1}{x} d y = x y^{2} \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Paso 2.1.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} d y = x y^{2} \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $x y^{2}$ .

$y^{2} d y = y^{2} x \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común.

$y^{2} d y = y^{2} x \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Paso 2.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} d y = x e^{x^{2}} d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} d y = \int x e^{x^{2}} d x$

Paso 3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x e^{x^{2}} d x$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Sea $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Entonces $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Deja $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Diferencia $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Paso 3.3.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3.1.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Paso 3.3.1.1.4

Simplifica.

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Paso 3.3.1.1.4.1

Reordena los factores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Paso 3.3.1.1.4.2

Reordena los factores en $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 3.3.2

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} u_{2} + C_{2}$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{x^{2}}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C_{2}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + K$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$

Paso 4.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$

Paso 4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$

Paso 4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica $3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{x^{2}}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{e^{x^{2}}}{2} + K)$

Paso 4.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{e^{x^{2}}}{2} + 3 K$

Paso 4.2.2.1.3

Combina $3$ y $\frac{e^{x^{2}}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{3 e^{x^{2}}}{2} + 3 K$

Paso 4.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 e^{x^{2}}}{2} + 3 K}$

Paso 4.4

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{3 e^{x^{2}}}{2} + 3 K}$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $3$ de $\frac{3 e^{x^{2}}}{2} + 3 K$ .

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Paso 4.4.1.1

Factoriza $3$ de $\frac{3 e^{x^{2}}}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{x^{2}}}{2} + 3 K}$

Paso 4.4.1.2

Factoriza $3$ de $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{x^{2}}}{2} + 3 K}$

Paso 4.4.1.3

Factoriza $3$ de $3 \frac{e^{x^{2}}}{2} + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{x^{2}}}{2} + K)}$

Paso 4.4.2

Para escribir $K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{x^{2}}}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}$

Paso 4.4.3

Simplifica los términos.

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Paso 4.4.3.1

Combina $K$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{x^{2}}}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}$

Paso 4.4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{x^{2}} + K \cdot 2}{2}}$

Paso 4.4.4

Mueve $2$ a la izquierda de $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{x^{2}} + 2 K}{2}}$

Paso 4.4.5

Combina $3$ y $\frac{e^{x^{2}} + 2 K}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}{2}}$

Paso 4.4.6

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}{2}}$ como $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$

Paso 4.4.7

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 4.4.8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.4.8.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 4.4.8.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 4.4.8.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Paso 4.4.8.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Paso 4.4.8.5

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

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Paso 4.4.8.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 4.4.8.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 4.4.8.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 4.4.8.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.4.8.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 4.4.8.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Paso 4.4.8.5.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Paso 4.4.9

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.9.1

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Paso 4.4.9.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} \sqrt[3]{4}}{2}$

Paso 4.4.10

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.10.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K) \cdot 4}}{2}$

Paso 4.4.10.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{2}$

Paso 5

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (e^{x^{2}} + K)}}{2}$