Cálculo Ejemplos

$y' \tan (x) = 2 y - 8$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial.

$\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$

Paso 2

Separa las variables.

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Paso 2.1

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$ por $\tan (x)$ y simplifica.

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Paso 2.1.1

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$ por $\tan (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \tan (x)}{\tan (x)} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

Paso 2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.2.1

Cancela el factor común de $\tan (x)$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} \tan (x)}{\tan (x)} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

Paso 2.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

Paso 2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.1.1

Separa las fracciones.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{1}{\tan (x)}$

Paso 2.1.3.1.2

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 2.1.3.1.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 2.1.3.1.4

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cot (x)$

Paso 2.1.3.1.5

Divide $- 8$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$

Paso 2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.1

Factoriza $2$ de $\frac{2 y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $2$ de $\frac{2 y}{\tan (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \frac{y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $2$ de $- 8 \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \frac{y}{\tan (x)} + 2 (- 4 \cot (x))$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $2$ de $2 \frac{y}{\tan (x)} + 2 (- 4 \cot (x))$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{\tan (x)} - 4 \cot (x))$

Paso 2.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1

Separa las fracciones.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\tan (x)} - 4 \cot (x))$

Paso 2.2.2.2

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} - 4 \cot (x))$

Paso 2.2.2.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 4 \cot (x))$

Paso 2.2.2.4

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cot (x) - 4 \cot (x))$

Paso 2.2.2.5

Divide $y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (y \cot (x) - 4 \cot (x))$

Paso 2.2.3

Factoriza.

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Paso 2.2.3.1

Factoriza $\cot (x)$ de $y \cot (x) - 4 \cot (x)$ .

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Paso 2.2.3.1.1

Factoriza $\cot (x)$ de $y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) y - 4 \cot (x))$

Paso 2.2.3.1.2

Factoriza $\cot (x)$ de $- 4 \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) y + \cot (x) \cdot - 4)$

Paso 2.2.3.1.3

Factoriza $\cot (x)$ de $\cot (x) y + \cot (x) \cdot - 4$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) (y - 4))$

Paso 2.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{d y}{d x} = 2 \cot (x) (y - 4)$

Paso 2.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y - 4}$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 4} (2 \cot (x) (y - 4))$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y - 4} (\cot (x) (y - 4))$

Paso 2.4.2

Combina $2$ y $\frac{1}{y - 4}$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} (\cot (x) (y - 4))$

Paso 2.4.3

Cancela el factor común de $y - 4$ .

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Paso 2.4.3.1

Factoriza $y - 4$ de $\cot (x) (y - 4)$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} ((y - 4) \cot (x))$

Paso 2.4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} ((y - 4) \cot (x))$

Paso 2.4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = 2 \cot (x)$

Paso 2.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y - 4} d y = 2 \cot (x) d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y - 4} d y = \int 2 \cot (x) d x$

Paso 3.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Sea $u = y - 4$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.2.1.1

Deja $u = y - 4$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Diferencia $y - 4$ .

$\frac{d}{d y} [y - 4]$

Paso 3.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 4$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Paso 3.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 4]$

Paso 3.2.1.1.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 3.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 3.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 \cot (x) d x$

Paso 3.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 \cot (x) d x$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y - 4$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \int 2 \cot (x) d x$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 \int \cot (x) d x$

Paso 3.3.2

La integral de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 (\ln (| \sin (x) |) + C_{2})$

Paso 3.3.3

Simplifica.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 \ln (| \sin (x) |) + C_{2}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y - 4 |) = 2 \ln (| \sin (x) |) + C$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y - 4 |) - 2 \ln (| \sin (x) |) = C$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\ln (| y - 4 |) - 2 \ln (| \sin (x) |)$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Simplifica $- 2 \ln (| \sin (x) |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (| y - 4 |) - \ln ({| \sin (x) |}^{2}) = C$

Paso 4.2.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| \sin (x) |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (| y - 4 |) - \ln (\sin^{2} (x)) = C$

Paso 4.2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y - 4 |}{\sin^{2} (x)}) = C$

Paso 4.2.1.3

Multiplica por $1$ .

$\ln (\frac{| y - 4 |}{\sin^{2} (x) \cdot 1}) = C$

Paso 4.2.1.4

Separa las fracciones.

$\ln (\frac{| y - 4 |}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}) = C$

Paso 4.2.1.5

Convierte de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ a $\csc^{2} (x)$ .

$\ln (\frac{| y - 4 |}{1} \csc^{2} (x)) = C$

Paso 4.2.1.6

Divide $| y - 4 |$ por $1$ .

$\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x)) = C$

Paso 4.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x))} = e^{C}$

Paso 4.4

Reescribe $\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x)) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y - 4 | \csc^{2} (x)$

Paso 4.5

Resuelve $y$

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Paso 4.5.1

Reescribe la ecuación como $| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ .

$| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$

Paso 4.5.2

Divide cada término en $| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ por $\csc^{2} (x)$ y simplifica.

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Paso 4.5.2.1

Divide cada término en $| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ por $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{| y - 4 | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Paso 4.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.2.2.1

Cancela el factor común de $\csc^{2} (x)$ .

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Paso 4.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y - 4 | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Paso 4.5.2.2.1.2

Divide $| y - 4 |$ por $1$ .

$| y - 4 | = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Paso 4.5.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y - 4 = \pm \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Paso 4.5.4

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \pm \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)} + 4$

Paso 5

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 5.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \frac{C}{\csc^{2} (x)} + 4$

Paso 5.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C \frac{1}{\csc^{2} (x)} + 4$