Cálculo Ejemplos

$(1 + x^{2}) d y + y d x = 0$

Paso 1

Resta $y d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(1 + x^{2}) d y = - y d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- y) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $1 + x^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $1 + x^{2}$ de $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- y) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- y) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- y) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ al numerador.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

Paso 3.3.2

Factoriza $y$ de $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x^{2})} y d x$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x^{2})} y d x$

Paso 3.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.3.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Paso 4.3.3

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

Paso 4.3.4

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - \arctan (x) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \arctan (x) + C}$

Paso 5.2

Reescribe $\ln (| y |) = - \arctan (x) + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \arctan (x) + C} = | y |$

Paso 5.3

Resuelve $y$

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Paso 5.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{- \arctan (x) + C}$ .

$| y | = e^{- \arctan (x) + C}$

Paso 5.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \arctan (x) + C}$

Paso 6

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.1

Reescribe $e^{- \arctan (x) + C}$ como $e^{- \arctan (x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \arctan (x)} e^{C}$

Paso 6.2

Reordena $e^{- \arctan (x)}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \arctan (x)}$

Paso 6.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{- \arctan (x)}$