Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = 5 \sqrt{t}$ , $y (1) = 6$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = 5 \sqrt{t} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 5 \sqrt{t} d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 5 \sqrt{t} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $5$ es constante con respecto a $t$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 5 \int \sqrt{t} d t$

Paso 2.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 5 \int t^{\frac{1}{2}} d t$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $5 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ como $5 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2

Simplifica.

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Paso 2.3.4.2.1

Combina $5$ y $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{5 \cdot 2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$y + C_{1} = \frac{10}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{10}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $1$ por $t$ y de $6$ por $y$ en $y = \frac{10}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ .

$6 = \frac{10}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{10}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 6$ .

$\frac{10}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 6$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{10}{3} \cdot 1 + K = 6$

Paso 4.2.2

Multiplica $\frac{10}{3}$ por $1$ .

$\frac{10}{3} + K = 6$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $\frac{10}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 6 - \frac{10}{3}$

Paso 4.3.2

Para escribir $6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$K = 6 \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3}$

Paso 4.3.3

Combina $6$ y $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{10}{3}$

Paso 4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$K = \frac{6 \cdot 3 - 10}{3}$

Paso 4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $6$ por $3$ .

$K = \frac{18 - 10}{3}$

Paso 4.3.5.2

Resta $10$ de $18$ .

$K = \frac{8}{3}$

Paso 5

Sustituye $\frac{8}{3}$ por $K$ en $y = \frac{10}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $\frac{8}{3}$ por $K$ .

$y = \frac{10}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{8}{3}$

Paso 5.2

Combina $\frac{10}{3}$ y $t^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{10 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8}{3}$