Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \sin (x) - e^{- x} + 8 x^{3}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (\sin (x) - e^{- x} + 8 x^{3}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \sin (x) - e^{- x} + 8 x^{3} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \sin (x) - e^{- x} + 8 x^{3} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int \sin (x) d x + \int - e^{- x} d x + \int 8 x^{3} d x$

Paso 2.3.2

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + \int - e^{- x} d x + \int 8 x^{3} d x$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} - \int e^{- x} d x + \int 8 x^{3} d x$

Paso 2.3.4

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.4.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.4.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.4.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.3.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} - \int - e^{u} d u + \int 8 x^{3} d x$

Paso 2.3.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} - - \int e^{u} d u + \int 8 x^{3} d x$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + 1 \int e^{u} d u + \int 8 x^{3} d x$

Paso 2.3.6.2

Multiplica $\int e^{u} d u$ por $1$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + \int e^{u} d u + \int 8 x^{3} d x$

Paso 2.3.7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + e^{u} + C_{3} + \int 8 x^{3} d x$

Paso 2.3.8

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + e^{u} + C_{3} + 8 \int x^{3} d x$

Paso 2.3.9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + e^{u} + C_{3} + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{4})$

Paso 2.3.10

Simplifica.

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Paso 2.3.10.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + e^{u} + C_{3} + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C_{4})$

Paso 2.3.10.2

Simplifica.

$y + C_{1} = - \cos (x) + e^{u} + 2 x^{4} + C_{5}$

Paso 2.3.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + e^{- x} + 2 x^{4} + C_{5}$

Paso 2.3.12

Reordena los términos.

$y + C_{1} = 2 x^{4} + e^{- x} - \cos (x) + C_{5}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 2 x^{4} + e^{- x} - \cos (x) + K$