Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = e^{2 t} - 2 y$ , $y (1) = 2$

Paso 1

Suma $2 y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d t} + 2 y = e^{2 t}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , donde $P (t) = 2$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int 2 d t}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{2 t + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{2 t}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{2 t}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} e^{2 t}$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} e^{2 t}$

Paso 3.3

Multiplica $e^{2 t}$ por $e^{2 t}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t + 2 t}$

Paso 3.3.2

Suma $2 t$ y $2 t$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{4 t}$

Paso 3.4

Reordena los factores en $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{4 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = e^{4 t}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = e^{4 t}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int e^{4 t} d t$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{2 t} y = \int e^{4 t} d t$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Sea $u = 4 t$ . Entonces $d u = 4 d t$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1.1

Deja $u = 4 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 7.1.1.1

Diferencia $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [4 t]$

Paso 7.1.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4 t$ con respecto a $t$ es $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 7.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 7.1.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 7.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{2 t} y = \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Paso 7.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 t} y = \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Paso 7.3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Paso 7.4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Paso 7.5

Simplifica.

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{u} + C$

Paso 7.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 t$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$ por $e^{2 t}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$ por $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{2 t}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{4 t}$ y $e^{2 t}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Factoriza $e^{2 t}$ de $\frac{1}{4} e^{4 t}$ .

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Paso 8.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Paso 8.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Paso 8.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{2 t}}{1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Paso 8.3.1.1.2.4

Divide $\frac{1}{4} e^{2 t}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{4} e^{2 t} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Paso 8.3.1.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $e^{2 t}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Paso 9

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $1$ por $t$ y de $2$ por $y$ en $y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$ .

$2 = \frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}}$

Paso 10

Resuelve $C$

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$ .

$\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$

Paso 10.2

Simplifica $\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}}$ .

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Paso 10.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{e^{2}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$

Paso 10.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{e^{2}}{4} + \frac{C}{e^{2}} = 2$

Paso 10.3

Resta $\frac{e^{2}}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{C}{e^{2}} = 2 - \frac{e^{2}}{4}$

Paso 10.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $e^{2}$ .

$e^{2} \frac{C}{e^{2}} = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

Paso 10.5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 10.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.5.1.1

Cancela el factor común de $e^{2}$ .

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Paso 10.5.1.1.1

Cancela el factor común.

$e^{2} \frac{C}{e^{2}} = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

Paso 10.5.1.1.2

Reescribe la expresión.

$C = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

Paso 10.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.5.2.1

Simplifica $e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$ .

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Paso 10.5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$C = e^{2} \cdot 2 + e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$

Paso 10.5.2.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2}$ .

$C = 2 \cdot e^{2} + e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$

Paso 10.5.2.1.3

Multiplica $e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$ .

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Paso 10.5.2.1.3.1

Combina $e^{2}$ y $\frac{e^{2}}{4}$ .

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{2} e^{2}}{4}$

Paso 10.5.2.1.3.2

Multiplica $e^{2}$ por $e^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.5.2.1.3.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{2 + 2}}{4}$

Paso 10.5.2.1.3.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$

$C = 2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$

Paso 11

Sustituye $2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$ por $C$ en $y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$ y simplifica.

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Paso 11.1

Sustituye $2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$ por $C$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Paso 11.2

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.1.1

Para escribir $2 e^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{2 e^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Paso 11.2.1.2

Combina $2 e^{2}$ y $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{2 e^{2} \cdot 4}{4} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Paso 11.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{2 e^{2} \cdot 4 - e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Paso 11.2.1.4

Multiplica $4$ por $2$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{8 e^{2} - e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Paso 11.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 t}}$

Paso 11.2.3

Multiplica $\frac{8 e^{2} - e^{4}}{4}$ por $\frac{1}{e^{2 t}}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Paso 11.3

Para escribir $\frac{e^{2 t}}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{2 t}}{e^{2 t}}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} \cdot \frac{e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Paso 11.4

Multiplica $\frac{e^{2 t}}{4}$ por $\frac{e^{2 t}}{e^{2 t}}$ .

$y = \frac{e^{2 t} e^{2 t}}{4 e^{2 t}} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Paso 11.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{e^{2 t} e^{2 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Paso 11.6

Multiplica $e^{2 t}$ por $e^{2 t}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.6.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{e^{2 t + 2 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Paso 11.6.2

Suma $2 t$ y $2 t$ .

$y = \frac{e^{4 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$