Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x e^{2 x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Factoriza $y$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = x e^{2 x}$

Paso 1.2

Reordena $y$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x e^{2 x}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln (x)}$

Paso 2.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $x$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x (x e^{2 x})$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (x e^{2 x})$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (x e^{2 x})$

Paso 3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (x e^{2 x})$

Paso 3.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1

Mueve $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x \cdot x e^{2 x}$

Paso 3.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{2} e^{2 x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x y] = x^{2} e^{2 x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x^{2} e^{2 x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$x y = \int x^{2} e^{2 x} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = e^{2 x}$ .

$x y = x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$x y = x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

Paso 7.2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

Paso 7.3

Dado que $\frac{1}{2} \cdot 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2} \cdot 2$ fuera de la integral.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x)$

Paso 7.4

Simplifica.

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Paso 7.4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x)$

Paso 7.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.4.2.1

Cancela el factor común.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x)$

Paso 7.4.2.2

Reescribe la expresión.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x)$

Paso 7.4.3

Multiplica $\int e^{2 x} (x) d x$ por $1$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x$

Paso 7.5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{2 x}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Paso 7.6

Simplifica.

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Paso 7.6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Paso 7.6.2

Combina $x$ y $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Paso 7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Paso 7.7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Paso 7.8

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.8.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.8.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 7.8.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 7.8.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 7.8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Paso 7.9

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Paso 7.10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Paso 7.11

Simplifica.

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Paso 7.11.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Paso 7.11.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Paso 7.12

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Paso 7.13

Simplifica.

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Paso 7.13.1

Reescribe $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ como $\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$x y = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Paso 7.13.2

Simplifica.

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Paso 7.13.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$x y = \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Paso 7.13.2.2

Combina $\frac{x^{2}}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Paso 7.13.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Paso 7.13.2.4

Combina $\frac{x}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Paso 7.13.2.5

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{4}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Paso 7.13.2.6

Para escribir $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Paso 7.13.2.7

Combina $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ y $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Paso 7.13.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Paso 7.13.2.9

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

Paso 7.14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Paso 7.15

Simplifica.

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Paso 7.15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - 2 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Paso 7.15.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.15.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Paso 7.15.2.2

Cancela el factor común.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Paso 7.15.2.3

Reescribe la expresión.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Paso 7.15.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.15.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{2 x}}{4}$ al numerador.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

Paso 7.15.3.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 (- 1) \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

Paso 7.15.3.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Paso 7.15.3.4

Cancela el factor común.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Paso 7.15.3.5

Reescribe la expresión.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - \frac{- e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Paso 7.15.4

Simplifica cada término.

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Paso 7.15.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} - - \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Paso 7.15.4.2

Multiplica $- - \frac{e^{2 x}}{2}$ .

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Paso 7.15.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + 1 \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Paso 7.15.4.2.2

Multiplica $\frac{e^{2 x}}{2}$ por $1$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Paso 7.15.5

Para escribir $- x e^{2 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Paso 7.15.6

Combina $- x e^{2 x}$ y $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Paso 7.15.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Paso 7.15.8

Simplifica el numerador.

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Paso 7.15.8.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ .

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Paso 7.15.8.1.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $- x e^{2 x} \cdot 2$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Paso 7.15.8.1.2

Multiplica por $1$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2}}{2} + C$

Paso 7.15.8.1.3

Factoriza $e^{2 x}$ de $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2}}{2} + C$

Paso 7.15.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}}{2} + C$

Paso 7.15.9

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) + 1)}{2}}{2} + C$

Paso 7.15.10

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2}}{2} + C$

Paso 7.15.11

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x - 1))}{2}}{2} + C$

Paso 7.15.12

Reescribe $- (2 x - 1)$ como $- 1 (2 x - 1)$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 1 (2 x - 1))}{2}}{2} + C$

Paso 7.15.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2}}{2} + C$

Paso 7.16

Reordena los términos.

$x y = \frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1)) + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1)) + C$

Paso 8.1.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1)) + C$

Paso 8.1.1.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x})) + C$

Paso 8.1.1.4

Reescribe $- 1 e^{2 x}$ como $- e^{2 x}$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - e^{2 x})) + C$

Paso 8.1.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} (2 e^{2 x} x) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

Paso 8.1.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.1.1.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- 1}{2} (2 e^{2 x} x) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

Paso 8.1.1.6.2

Factoriza $2$ de $2 e^{2 x} x$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- 1}{2} (2 (e^{2 x} x)) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

Paso 8.1.1.6.3

Cancela el factor común.

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- 1}{2} (2 (e^{2 x} x)) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

Paso 8.1.1.6.4

Reescribe la expresión.

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

Paso 8.1.1.7

Multiplica $- \frac{1}{2} (- e^{2 x})$ .

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Paso 8.1.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) + 1 (\frac{1}{2}) e^{2 x}) + C$

Paso 8.1.1.7.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) + \frac{1}{2} e^{2 x}) + C$

Paso 8.1.1.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

Paso 8.1.1.8

Reescribe $- 1 (e^{2 x} x)$ como $- (e^{2 x} x)$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - e^{2 x} x + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

Paso 8.1.1.9

Combina $- e^{2 x} x$ y $\frac{e^{2 x}}{2}$ mediante un denominador común.

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Paso 8.1.1.9.1

Mueve $e^{2 x}$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

Paso 8.1.1.9.2

Para escribir $- x e^{2 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

Paso 8.1.1.9.3

Combina $- x e^{2 x}$ y $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

Paso 8.1.1.9.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2}) + C$

Paso 8.1.1.10

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1.10.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ .

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Paso 8.1.1.10.1.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $- x e^{2 x} \cdot 2$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2}) + C$

Paso 8.1.1.10.1.2

Multiplica por $1$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2}) + C$

Paso 8.1.1.10.1.3

Factoriza $e^{2 x}$ de $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2}) + C$

Paso 8.1.1.10.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}) + C$

Paso 8.1.2

Para escribir $x^{2} e^{2 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}) + C$

Paso 8.1.3

Combina $x^{2} e^{2 x}$ y $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x^{2} e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}) + C$

Paso 8.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x y = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C$

Paso 8.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.5.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $x^{2} e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x} (- 2 x + 1)$ .

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Paso 8.1.5.1.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $x^{2} e^{2 x} \cdot 2$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 2) + e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C$

Paso 8.1.5.1.2

Factoriza $e^{2 x}$ de $e^{2 x} (x^{2} \cdot 2) + e^{2 x} (- 2 x + 1)$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 2 - 2 x + 1)}{2} + C$

Paso 8.1.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{2} + C$

Paso 8.1.6

Combinar.

$x y = \frac{1 (e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1))}{2 \cdot 2} + C$

Paso 8.1.7

Multiplica $e^{2 x}$ por $1$ .

$x y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{2 \cdot 2} + C$

Paso 8.1.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$x y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C$

Paso 8.2

Divide cada término en $x y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C$ por $x$ y simplifica.

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Paso 8.2.1

Divide cada término en $x y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C}{x}$

Paso 8.2.3.2

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{x}$

Paso 8.2.3.3

Simplifica los términos.

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Paso 8.2.3.3.1

Combina $C$ y $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{x}$

Paso 8.2.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1) + C \cdot 4}{4}}{x}$

Paso 8.2.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2}) + e^{2 x} (- 2 x) + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{x}$

Paso 8.2.3.4.2

Simplifica.

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Paso 8.2.3.4.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (- 2 x) + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{x}$

Paso 8.2.3.4.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{x}$

Paso 8.2.3.4.2.3

Multiplica $e^{2 x}$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + C \cdot 4}{4}}{x}$

Paso 8.2.3.4.3

Mueve $4$ a la izquierda de $C$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4}}{x}$

Paso 8.2.3.5

Reordena los factores en $\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4}$ .

$y = \frac{\frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4}}{x}$

Paso 8.2.3.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 8.2.3.7

Multiplica $\frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4}$ por $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4 x}$