Cálculo Ejemplos

$(x^{2} y - y) d x - x d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x^{2} y - y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} y - y]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} y - y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2} y$ con respecto a $y$ es $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 1.3.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} - \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} - 1 \cdot 1$

Paso 1.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} - 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - x$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Paso 2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $x^{2} - 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x^{2} - 1 = - 1$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$x^{2} - 1 = - 1$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $x^{2} - 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x^{2} - 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $- 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x^{2} - 1 + 1}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $- x$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $- x$ por $N$ .

$\frac{x^{2} - 1 + 1}{- x}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} + 0}{- x}$

Paso 4.3.2.2

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$\frac{x^{2}}{- x}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{- x}$

Paso 4.3.3.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{x}{- 1}$ .

$- 1 \cdot x$

Paso 4.3.4

Reescribe $- 1 \cdot x$ como $- x$ .

$- x$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - x d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - x d x}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int x d x}$

Paso 5.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Paso 5.3

Reescribe $e^{- (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$ como $e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + C$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + C$

Paso 5.4

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(x^{2} y - y) d x - x d y = 0$ por el factor integrador $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $x^{2} y - y$ por $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$(x^{2} y - y) e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x - x d y = 0$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}) d x - x d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $- x$ por $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$(x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}) d x - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} y + C$

Paso 8.2

Reescribe $- x e^{- \frac{x^{2}}{2}} y + C$ como $- x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + C$ .

$f (x, y) = - x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y]$ .

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Paso 11.3.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- x e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.3.2

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x e^{- \frac{x^{2}}{2}} y$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$- y (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

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Paso 11.3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$- y (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.3.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- y (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.3.5

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.3.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- 2 (\frac{1}{2}) x)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.3.9

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (\frac{- 2}{2} x)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.3.10

Combina $\frac{- 2}{2}$ y $x$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{- 2 x}{2}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.3.11

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 11.3.11.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{2 (- x)}{2}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.3.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.11.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{2 (- x)}{2 (1)}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{- x}{1}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.3.11.2.4

Divide $- x$ por $1$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.3.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- y (x^{1} x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot (- 1)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.3.13

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- y (x^{1} x^{1} (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot (- 1)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.3.14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- y (x^{1 + 1} (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot (- 1)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.3.15

Suma $1$ y $1$ .

$- y (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot (- 1)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.3.16

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$- y (x^{2} (- 1 \cdot e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.3.17

Reescribe $- 1 e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ como $- e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$- y (x^{2} (- e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.3.18

Multiplica $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ por $1$ .

$- y (x^{2} (- e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$- y (x^{2} (- e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + \frac{d g}{d x} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.5

Simplifica.

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Paso 11.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- y (x^{2} (- e^{- \frac{x^{2}}{2}})) - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + \frac{d g}{d x} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.5.2

Combina los términos.

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Paso 11.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{2}})) - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + \frac{d g}{d x} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.5.2.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + \frac{d g}{d x} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.5.3

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} y - e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 11.5.4

Reordena los factores en $\frac{d g}{d x} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} y - e^{- \frac{x^{2}}{2}} y$ .

$\frac{d g}{d x} + x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.1

Resta $x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 12.1.2

Suma $y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 12.1.3

Combina los términos opuestos en $x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

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Paso 12.1.3.1

Resta $x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ de $x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + 0 + y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 12.1.3.2

Suma $- y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 12.1.3.3

Suma $- y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ y $y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $0$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Paso 13.3

La integral de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Paso 13.4

Suma $0$ y $C$ .

$g (x) = C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = - x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + g (x)$ .

$f (x, y) = - x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + C$

Paso 15

Simplifica $f (x, y) = - x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + C$ .

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Paso 15.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} y + C$

Paso 15.2

Reordena los factores en $f (x, y) = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} y + C$ .

$f (x, y) = - x y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + C$