Cálculo Ejemplos

$(x - 2) \frac{d y}{d x} + y = x^{2} - 4$

Paso 1

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $(x - 2) y$ .

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - 2$ y $g (x) = y$ .

$(x - 2) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$(x - 2) y' + y \frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 1.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x - 2) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x - 2) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 1.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x - 2) y' + y (1 + 0)$

Paso 1.6

Suma $1$ y $0$ .

$(x - 2) y' + y \cdot 1$

Paso 1.7

Sustituye $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$(x - 2) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Paso 1.8

Reordena $y$ y $1$ .

$(x - 2) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Paso 1.9

Multiplica $y$ por $1$ .

$(x - 2) \frac{d y}{d x} + y$

Paso 2

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [(x - 2) y] = x^{2} - 4$

Paso 3

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [(x - 2) y] d x = \int x^{2} - 4 d x$

Paso 4

Integra el lado izquierdo.

$(x - 2) y = \int x^{2} - 4 d x$

Paso 5

Integra el lado derecho.

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$(x - 2) y = \int x^{2} d x + \int - 4 d x$

Paso 5.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x - 2) y = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 4 d x$

Paso 5.3

Aplica la regla de la constante.

$(x - 2) y = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C$

Paso 5.4

Simplifica.

$(x - 2) y = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + C$

Paso 6

Divide cada término en $(x - 2) y = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + C$ por $x - 2$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $(x - 2) y = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + C$ por $x - 2$ .

$\frac{(x - 2) y}{x - 2} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x - 2} + \frac{- 4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 2) y}{x - 2} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x - 2} + \frac{- 4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Paso 6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x - 2} + \frac{- 4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x - 2} + \frac{- 4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Paso 6.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x - 2} + \frac{- 4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Paso 6.3.1.3

Multiplica $\frac{x^{3}}{3}$ por $\frac{1}{x - 2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x - 2)} + \frac{- 4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Paso 6.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x^{3}}{3 (x - 2)} - \frac{4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Paso 6.3.2

Para escribir $- \frac{4 x}{x - 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x - 2)} - \frac{4 x}{x - 2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{C}{x - 2}$

Paso 6.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $3 (x - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.3.3.1

Multiplica $\frac{4 x}{x - 2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x - 2)} - \frac{4 x \cdot 3}{(x - 2) \cdot 3} + \frac{C}{x - 2}$

Paso 6.3.3.2

Reordena los factores de $(x - 2) \cdot 3$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x - 2)} - \frac{4 x \cdot 3}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2}$

Paso 6.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x^{3} - 4 x \cdot 3}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2}$

Paso 6.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.5.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 4 x \cdot 3$ .

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Paso 6.3.5.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2} - 4 x \cdot 3}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2}$

Paso 6.3.5.1.2

Factoriza $x$ de $- 4 x \cdot 3$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x (- 4 \cdot 3)}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2}$

Paso 6.3.5.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 4 \cdot 3)$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 4 \cdot 3)}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2}$

Paso 6.3.5.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 12)}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2}$

Paso 6.3.6

Para escribir $\frac{C}{x - 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 12)}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 6.3.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $3 (x - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.3.7.1

Multiplica $\frac{C}{x - 2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 12)}{3 (x - 2)} + \frac{C \cdot 3}{(x - 2) \cdot 3}$

Paso 6.3.7.2

Reordena los factores de $(x - 2) \cdot 3$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 12)}{3 (x - 2)} + \frac{C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Paso 6.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x (x^{2} - 12) + C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Paso 6.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Paso 6.3.9.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.9.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 6.3.9.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x^{1} x^{2} + x \cdot - 12 + C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Paso 6.3.9.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{x^{1 + 2} + x \cdot - 12 + C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Paso 6.3.9.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{x^{3} + x \cdot - 12 + C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Paso 6.3.9.3

Mueve $- 12$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{x^{3} - 12 \cdot x + C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Paso 6.3.9.4

Mueve $3$ a la izquierda de $C$ .

$y = \frac{x^{3} - 12 x + 3 C}{3 (x - 2)}$