Cálculo Ejemplos

$4 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $4 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ por $4 x y$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $4 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ por $4 x y$ .

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Paso 1.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Paso 1.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Paso 1.1.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Paso 1.1.2.3.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.1.3.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Paso 1.1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.1.2.1

Factoriza $x$ de $4 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (4 y)} + \frac{1}{4 x y}$

Paso 1.1.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (4 y)} + \frac{1}{4 x y}$

Paso 1.1.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{4 y} + \frac{1}{4 x y}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Para escribir $\frac{x}{4 y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{4 y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{4 x y}$

Paso 1.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $4 y x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.2.2.1

Multiplica $\frac{x}{4 y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{4 y x} + \frac{1}{4 x y}$

Paso 1.2.2.2

Reordena los factores de $4 y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Paso 1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + 1}{4 x y}$

Paso 1.2.4

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{4 x y}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{y}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{y})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $\frac{x^{2} + 1}{4 x}$ por $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{4 x y}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $y$ de $4 x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y (4 x)}$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y (4 x)}$

Paso 1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{4 x}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$y d y = \frac{x^{2} + 1}{4 x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{4 x} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{4 x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Paso 2.3.2

Divide $x^{2} + 1$ por $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Paso 2.3.2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Paso 2.3.2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Paso 2.3.2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + 0$ .

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Paso 2.3.2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Paso 2.3.2.6

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Paso 2.3.2.7

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int x + \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\int x d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x)$

Paso 2.3.5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |)) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{4} \ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.3

Combinar.

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{2}}{4 \cdot 2} + \frac{1}{4} \ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.4

Combina $\frac{1}{4}$ y $\ln (| x |)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{2}}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| x |)}{4} + C)$

Paso 3.2.2.1.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.5.1

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| x |)}{4} + C)$

Paso 3.2.2.1.1.5.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{8} + \frac{\ln (| x |)}{4} + C)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{8} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 (4)} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

Paso 3.2.2.1.3.1.2

Cancela el factor común.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 \cdot 4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

Paso 3.2.2.1.3.1.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

Paso 3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{2 (2)} + 2 C$

Paso 3.2.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{2 \cdot 2} + 2 C$

Paso 3.2.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln (| x |)}{2} + 2 C$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln (| x |)}{2} + 2 C}$

Paso 3.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln (| x |)}{2} + 2 C}$ .

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Paso 3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1.1

Reescribe $\frac{\ln (| x |)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} \ln (| x |) + 2 C}$

Paso 3.4.1.2

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}$

Paso 3.4.2

Para escribir $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{4}{4} + 2 C}$

Paso 3.4.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.3.1

Combina $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ y $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 4}{4} + 2 C}$

Paso 3.4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 4}{4} + 2 C}$

Paso 3.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.4.1

Multiplica $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 4$ .

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Paso 3.4.4.1.1

Reordena $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ y $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 4 \cdot \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{4} + 2 C}$

Paso 3.4.4.1.2

Simplifica $4 \cdot \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{4})}{4} + 2 C}$

Paso 3.4.4.2

Multiplica los exponentes en ${({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{4}$ .

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Paso 3.4.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 4})}{4} + 2 C}$

Paso 3.4.4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))})}{4} + 2 C}$

Paso 3.4.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)})}{4} + 2 C}$

Paso 3.4.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{2})}{4} + 2 C}$

Paso 3.4.4.3

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2})}{4} + 2 C}$

Paso 3.4.5

Para escribir $2 C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2})}{4} + 2 C \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 3.4.6

Combina $2 C$ y $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2})}{4} + \frac{2 C \cdot 4}{4}}$

Paso 3.4.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C \cdot 4}{4}}$

Paso 3.4.8

Multiplica $4$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}{4}}$

Paso 3.4.9

Reescribe $\frac{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)$ .

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Paso 3.4.9.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}{4}}$

Paso 3.4.9.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}{2^{2} \cdot 1}}$

Paso 3.4.9.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}$

Paso 3.4.10

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}$

Paso 3.4.11

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}}{2}$