Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 4 x d x + \int \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 \int x d x + \int \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 2.3.4

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 2.3.5

Sea $u = 3 x^{3} + 1$ . Entonces $d u = 9 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.5.1

Deja $u = 3 x^{3} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.5.1.1

Diferencia $3 x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

Paso 2.3.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Paso 2.3.5.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.5.1.3.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.5.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$9 x^{2} + 0$

Paso 2.3.5.1.4.2

Suma $9 x^{2}$ y $0$ .

$9 x^{2}$

Paso 2.3.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{9} d u$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{9} d u$

Paso 2.3.6.2

Multiplica $\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{1}{9}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 9} d u$

Paso 2.3.6.3

Mueve $9$ a la izquierda de $u^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{9 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Paso 2.3.7

Dado que $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{9}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Paso 2.3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.8.1

Simplifica.

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Paso 2.3.8.1.1

Combina $\frac{1}{9}$ y $9$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{9}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Paso 2.3.8.1.2

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 2.3.8.1.2.1

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{9}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Paso 2.3.8.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 1 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Paso 2.3.8.1.3

Multiplica $\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$ por $1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Paso 2.3.8.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.8.2.1

Mueve $u^{\frac{3}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 2.3.8.2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.8.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 2.3.8.2.2.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 2.3.8.2.2.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Paso 2.3.8.2.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Paso 2.3.8.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Paso 2.3.9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 u^{- \frac{1}{2}} + C_{3}$

Paso 2.3.10

Simplifica.

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 2 u^{- \frac{1}{2}} + C_{4}$

Paso 2.3.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{3} + 1$ .

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 2 {(3 x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 2 x^{2} - 2 {(3 x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} + K$