Cálculo Ejemplos

$(y^{3} + y + 1) d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y^{3} + y + 1$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3} + y + 1]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} + y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.5

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 1 + 0$

Paso 1.6

Suma $3 y^{2} + 1$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x^{2} - 3 x y^{2} - x$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x y^{2} - x]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 3 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x y^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} - 1 \cdot 1$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} - 1$

Paso 2.5

Reordena los términos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} + 2 x - 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $3 y^{2} + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 3 y^{2} + 2 x - 1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} + 1 = - 3 y^{2} + 2 x - 1$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$3 y^{2} + 1 = - 3 y^{2} + 2 x - 1$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $3 y^{2} + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $- 3 y^{2} + 2 x - 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 - (- 3 y^{2} + 2 x - 1)}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ por $N$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 - (- 3 y^{2} + 2 x - 1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 y^{2} + 1 - (- 3 y^{2}) - (2 x) - - 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.2.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 + 3 y^{2} - (2 x) - - 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Paso 4.3.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 + 3 y^{2} - 2 x - - 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Paso 4.3.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 + 3 y^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Paso 4.3.2.3

Suma $3 y^{2}$ y $3 y^{2}$ .

$\frac{6 y^{2} + 1 - 2 x + 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Paso 4.3.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{6 y^{2} - 2 x + 2}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Paso 4.3.2.5

Factoriza $2$ de $6 y^{2} - 2 x + 2$ .

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Paso 4.3.2.5.1

Factoriza $2$ de $6 y^{2}$ .

$\frac{2 (3 y^{2}) - 2 x + 2}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Paso 4.3.2.5.2

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (3 y^{2}) + 2 (- x) + 2}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Paso 4.3.2.5.3

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (3 y^{2}) + 2 (- x) + 2 (1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Paso 4.3.2.5.4

Factoriza $2$ de $2 (3 y^{2}) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x) + 2 (1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Paso 4.3.2.5.5

Factoriza $2$ de $2 (3 y^{2} - x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Paso 4.3.3

Factoriza $x$ de $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x \cdot x - 3 x y^{2} - x}$

Paso 4.3.3.2

Factoriza $x$ de $- 3 x y^{2}$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) - x}$

Paso 4.3.3.3

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) + x \cdot - 1}$

Paso 4.3.3.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x (- 3 y^{2})$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1}$

Paso 4.3.3.5

Factoriza $x$ de $x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $3 y^{2} - x + 1$ y $x - 3 y^{2} - 1$ .

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Paso 4.3.4.1

Factoriza $- 1$ de $3 y^{2}$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2}) - x + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Paso 4.3.4.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2}) - (x) + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Paso 4.3.4.3

Factoriza $- 1$ de $- (- 3 y^{2}) - (x)$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2} + x) + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Paso 4.3.4.4

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2} + x) - 1 (- 1))}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Paso 4.3.4.5

Factoriza $- 1$ de $- (- 3 y^{2} + x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Paso 4.3.4.6

Reescribe $- (- 3 y^{2} + x - 1)$ como $- 1 (- 3 y^{2} + x - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Paso 4.3.4.7

Reordena los términos.

$\frac{2 (- 1 (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (- 3 y^{2} + x - 1)}$

Paso 4.3.4.8

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 1 (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (- 3 y^{2} + x - 1)}$

Paso 4.3.4.9

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

Paso 4.3.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Paso 4.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Paso 5.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 5.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 5.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Paso 5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1

Simplifica $- 2 \ln (| x |)$ al mover $- 2$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Paso 5.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Paso 5.6.3

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{- 2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Paso 5.6.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(y^{3} + y + 1) d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $y^{3} + y + 1$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(y^{3} + y + 1) \frac{1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $y^{3} + y + 1$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.4

Multiplica $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x^{2} - 3 x y^{2} - x}{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.5

Factoriza $x$ de $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ .

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Paso 6.5.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x - 3 x y^{2} - x}{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.5.2

Factoriza $x$ de $- 3 x y^{2}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) - x}{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.5.3

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) + x \cdot - 1}{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.5.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x (- 3 y^{2})$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1}{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.5.5

Factoriza $x$ de $x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2} - 1)}{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.6.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2} - 1)}{x \cdot x} d y = 0$

Paso 6.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2} - 1)}{x \cdot x} d y = 0$

Paso 6.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = \frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Dado que $y^{3} + y + 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $y^{3} + y + 1$ fuera de la integral.

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 8.2

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 8.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 8.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 8.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int x^{- 2} d x$

Paso 8.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- x^{- 1} + C)$

Paso 8.5

Reescribe $(y^{3} + y + 1) (- x^{- 1} + C)$ como $(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + C$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})]$ .

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Paso 11.3.1

Como $- \frac{1}{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})$ con respecto a $y$ es $- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + y + 1]$ .

$- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + y + 1] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Paso 11.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} + y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$- \frac{1}{x} (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Paso 11.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Paso 11.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1 + \frac{d}{d y} [1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Paso 11.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Paso 11.3.6

Suma $3 y^{2} + 1$ y $0$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1) + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Paso 11.5

Simplifica.

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Paso 11.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{x} (3 y^{2}) - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Paso 11.5.2

Combina los términos.

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Paso 11.5.2.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 \frac{1}{x} y^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Paso 11.5.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 3}{x} y^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Paso 11.5.2.3

Combina $\frac{- 3}{x}$ y $y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Paso 11.5.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Paso 11.5.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Paso 11.5.3

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 12.1.1.1

Resta $\frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} - \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x} = 0$

Paso 12.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - (x - 3 y^{2} - 1)}{x} = 0$

Paso 12.1.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - x - (- 3 y^{2}) - - 1}{x} = 0$

Paso 12.1.1.3.2

Simplifica.

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Paso 12.1.1.3.2.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - x + 3 y^{2} - - 1}{x} = 0$

Paso 12.1.1.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - x + 3 y^{2} + 1}{x} = 0$

Paso 12.1.1.4

Combina los términos opuestos en $- 3 y^{2} - 1 - x + 3 y^{2} + 1$ .

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Paso 12.1.1.4.1

Suma $- 3 y^{2}$ y $3 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1 - x + 0 + 1}{x} = 0$

Paso 12.1.1.4.2

Suma $- 1 - x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1 - x + 1}{x} = 0$

Paso 12.1.1.4.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x + 0}{x} = 0$

Paso 12.1.1.4.4

Suma $- x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

Paso 12.1.1.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 12.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

Paso 12.1.1.5.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 = 0$

Paso 12.1.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 1$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $1$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Paso 13.3

Aplica la regla de la constante.

$g (y) = y + C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + y + C$

Paso 15

Simplifica cada término.

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Paso 15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = y^{3} (- \frac{1}{x}) + y (- \frac{1}{x}) + 1 (- \frac{1}{x}) + y + C$

Paso 15.2

Simplifica.

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Paso 15.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x, y) = - y^{3} \frac{1}{x} + y (- \frac{1}{x}) + 1 (- \frac{1}{x}) + y + C$

Paso 15.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x, y) = - y^{3} \frac{1}{x} - y \frac{1}{x} + 1 (- \frac{1}{x}) + y + C$

Paso 15.2.3

Multiplica $- \frac{1}{x}$ por $1$ .

$f (x, y) = - y^{3} \frac{1}{x} - y \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + y + C$

Paso 15.3

Simplifica cada término.

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Paso 15.3.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $y^{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} - y \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + y + C$

Paso 15.3.2

Combina $\frac{1}{x}$ y $y$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} - \frac{y}{x} - \frac{1}{x} + y + C$