Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{4} - 3 x$

Paso 1

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $x y$ .

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Paso 1.4

Sustituye $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Paso 1.5

Reordena $y$ y $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Paso 1.6

Multiplica $y$ por $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Paso 2

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x y] = x^{4} - 3 x$

Paso 3

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x^{4} - 3 x d x$

Paso 4

Integra el lado izquierdo.

$x y = \int x^{4} - 3 x d x$

Paso 5

Integra el lado derecho.

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$x y = \int x^{4} d x + \int - 3 x d x$

Paso 5.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C + \int - 3 x d x$

Paso 5.3

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 3 \int x d x$

Paso 5.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.1

Simplifica.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} - 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Paso 5.5.2

Simplifica.

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Paso 5.5.2.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{- 3}{2} x^{2} + C$

Paso 5.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$

Paso 6

Divide cada término en $x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{5}$ y $x$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x^{1}} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{4}}{1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.1.2.5

Divide $\frac{1}{5} x^{4}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{5} x^{4} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 6.3.1.3.1

Factoriza $x$ de $- \frac{3}{2} x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.3.2.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.3.2.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{- \frac{3}{2} x}{1} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.3.2.5

Divide $- \frac{3}{2} x$ por $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{3}{2} x + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.5

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{3 x}{2} + \frac{C}{x}$