Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \sin (x^{2})$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Factoriza $y$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \sin (x^{2})$

Paso 1.2

Reordena $y$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \sin (x^{2})$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln (x)}$

Paso 2.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $x$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \sin (x^{2})$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x^{2})$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x^{2})$

Paso 3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \sin (x^{2})$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x y] = x \sin (x^{2})$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x \sin (x^{2}) d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$x y = \int x \sin (x^{2}) d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Sea $u = x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1.1

Deja $u = x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1.1

Diferencia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 7.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 7.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$x y = \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 7.2

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$x y = \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Paso 7.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$x y = \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Paso 7.4

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$x y = \frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

Paso 7.5

Simplifica.

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Paso 7.5.1

Simplifica.

$x y = \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C$

Paso 7.5.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (u)$ .

$x y = - \frac{\cos (u)}{2} + C$

Paso 7.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x y = - \frac{\cos (x^{2})}{2} + C$

Paso 7.7

Reordena los términos.

$x y = - \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$

Paso 8

Divide cada término en $x y = - \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$ por $x$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $x y = - \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{2} \cos (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{2} \cos (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{2} \cos (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Combina $\cos (x^{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (x^{2})}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = - \frac{\cos (x^{2})}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.3.1.3

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{\cos (x^{2})}{2}$ .

$y = - \frac{\cos (x^{2})}{x \cdot 2} + \frac{C}{x}$

Paso 8.3.1.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{\cos (x^{2})}{2 x} + \frac{C}{x}$