Cálculo Ejemplos

$x e^{x^{2} + y} d x = y d y$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Resta $y d y$ de ambos lados de la ecuación.

$x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x e^{x^{2} + y}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x e^{x^{2} + y}]$

Paso 2.2

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x e^{x^{2} + y}$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = x^{2} + y$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{u} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]))$

Paso 2.4.2

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (0 + \frac{d}{d y} [y]))$

Paso 2.4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \cdot 1)$

Paso 2.4.5

Multiplica $e^{x^{2} + y}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x e^{x^{2} + y}$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - y$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $x e^{x^{2} + y}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $0$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x e^{x^{2} + y} = 0$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$x e^{x^{2} + y} = 0$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 5.2

Sustituye $x e^{x^{2} + y}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{M}$

Paso 5.3

Sustituye $x e^{x^{2} + y}$ por $M$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $x e^{x^{2} + y}$ por $M$ .

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{x e^{x^{2} + y}}$

Paso 5.3.2

Resta $x e^{x^{2} + y}$ de $0$ .

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

Paso 5.3.4

Sustituye $x e^{x^{2} + y}$ por $M$ .

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

Paso 5.3.4.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int - 1 d y}$ .

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Paso 6.1

Aplica la regla de la constante.

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

Paso 6.2

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$ por el factor integrador $e^{- y}$ .

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Paso 7.1

Multiplica $x e^{x^{2} + y}$ por $e^{- y}$ .

$x e^{x^{2} + y} e^{- y} d x - y d y = 0$

Paso 7.2

Multiplica $e^{x^{2} + y}$ por $e^{- y}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.1

Mueve $e^{- y}$ .

$x (e^{- y} e^{x^{2} + y}) d x - y d y = 0$

Paso 7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x e^{- y + x^{2} + y} d x - y d y = 0$

Paso 7.2.3

Combina los términos opuestos en $- y + x^{2} + y$ .

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Paso 7.2.3.1

Suma $- y$ y $y$ .

$x e^{x^{2} + 0} d x - y d y = 0$

Paso 7.2.3.2

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$x e^{x^{2}} d x - y d y = 0$

Paso 7.3

Multiplica $- y$ por $e^{- y}$ .

$x e^{x^{2}} d x - y e^{- y} d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} d x$

Paso 9

Integra $M (x, y) = x e^{x^{2}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Sea $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Entonces $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 9.1.1

Deja $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 9.1.1.1

Diferencia $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Paso 9.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 9.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 9.1.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 9.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 9.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Paso 9.1.1.4

Simplifica.

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Paso 9.1.1.4.1

Reordena los factores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Paso 9.1.1.4.2

Reordena los factores en $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Paso 9.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 9.2

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{2} u_{2} + C$

Paso 9.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{x^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Paso 10

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - y e^{- y}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)] = - y e^{- y}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

Paso 12.3

Como $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

Paso 12.5

Suma $0$ y $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $- y e^{- y}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{- y} d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y e^{- y} d y$

Paso 13.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = - \int y e^{- y} d y$

Paso 13.4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = y$ y $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

Paso 13.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

Paso 13.6

Simplifica.

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Paso 13.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

Paso 13.6.2

Multiplica $\int e^{- y} d y$ por $1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

Paso 13.7

Sea $u = - y$ . Entonces $d u = - d y$ , de modo que $- d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 13.7.1

Deja $u = - y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 13.7.1.1

Diferencia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Paso 13.7.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Paso 13.7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 13.7.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 13.7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

Paso 13.8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

Paso 13.9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

Paso 13.10

Reescribe $- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ como $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

Paso 13.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- y$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

Paso 13.12

Simplifica.

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Paso 13.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Paso 13.12.2

Multiplica $- (- y e^{- y})$ .

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Paso 13.12.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Paso 13.12.2.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

Paso 13.12.3

Multiplica $- - e^{- y}$ .

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Paso 13.12.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

Paso 13.12.3.2

Multiplica $e^{- y}$ por $1$ .

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Paso 15

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{x^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{2}}}{2} + y e^{- y} + e^{- y} + C$