Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = \sqrt{t}$ , $y (1) = 1$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \sqrt{t} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \sqrt{t} d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \sqrt{t} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int t^{\frac{1}{2}} d t$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $1$ por $t$ y de $1$ por $y$ en $y = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ .

$1 = \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 1$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{3} \cdot 1 + K = 1$

Paso 4.2.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3} + K = 1$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $\frac{2}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 1 - \frac{2}{3}$

Paso 4.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$K = \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 4.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$K = \frac{3 - 2}{3}$

Paso 4.3.4

Resta $2$ de $3$ .

$K = \frac{1}{3}$

Paso 5

Sustituye $\frac{1}{3}$ por $K$ en $y = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $\frac{1}{3}$ por $K$ .

$y = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3}$

Paso 5.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $t^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{3}$