Cálculo Ejemplos

$e^{5 y} d y = e^{5 x} d x$

Paso 1

Integra ambos lados.

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Paso 1.1

Establece una integral en cada lado.

$\int e^{5 y} d y = \int e^{5 x} d x$

Paso 1.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Sea $u_{1} = 5 y$ . Entonces $d u_{1} = 5 d y$ , de modo que $\frac{1}{5} d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.2.1.1

Deja $u_{1} = 5 y$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 1.2.1.1.1

Diferencia $5 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y]$

Paso 1.2.1.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $5 y$ con respecto a $y$ es $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Paso 1.2.1.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$5$

Paso 1.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} = \int e^{5 x} d x$

Paso 1.2.2

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} = \int e^{5 x} d x$

Paso 1.2.3

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int e^{5 x} d x$

Paso 1.2.4

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{5} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int e^{5 x} d x$

Paso 1.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}} + C_{1} = \int e^{5 x} d x$

Paso 1.2.6

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $5 y$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int e^{5 x} d x$

Paso 1.3

Integra el lado derecho.

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Paso 1.3.1

Sea $u_{2} = 5 x$ . Entonces $d u_{2} = 5 d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.3.1.1

Deja $u_{2} = 5 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.3.1.1.1

Diferencia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 1.3.1.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Paso 1.3.1.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$5$

Paso 1.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int e^{u_{2}} \frac{1}{5} d u_{2}$

Paso 1.3.2

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int \frac{e^{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Paso 1.3.3

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 1.3.4

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} (e^{u_{2}} + C_{2})$

Paso 1.3.5

Simplifica.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} e^{u_{2}} + C_{2}$

Paso 1.3.6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 x$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} e^{5 x} + C_{2}$

Paso 1.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} = \frac{1}{5} e^{5 x} + K$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $5$ .

$5 (\frac{1}{5} e^{5 y}) = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Paso 2.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1.1

Simplifica $5 (\frac{1}{5} e^{5 y})$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $e^{5 y}$ .

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{5 y} = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica $5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $e^{5 x}$ .

$e^{5 y} = 5 (\frac{e^{5 x}}{5} + K)$

Paso 2.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{5 y} = 5 \frac{e^{5 x}}{5} + 5 K$

Paso 2.2.2.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$e^{5 y} = 5 \frac{e^{5 x}}{5} + 5 K$

Paso 2.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e^{5 y} = e^{5 x} + 5 K$

Paso 2.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{5 y}) = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

Paso 2.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1

Expande $\ln (e^{5 y})$ ; para ello, mueve $5 y$ fuera del logaritmo.

$5 y \ln (e) = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

Paso 2.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$5 y \cdot 1 = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

Paso 2.4.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 y = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

Paso 2.5

Divide cada término en $5 y = \ln (e^{5 x} + 5 K)$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.5.1

Divide cada término en $5 y = \ln (e^{5 x} + 5 K)$ por $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Paso 2.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Paso 3

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\ln (e^{5 x} + K)}{5}$