Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = t + 2 e^{t - 7}$ ; and , $y (7) = 4$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (t + 2 e^{t - 7}) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int t + 2 e^{t - 7} d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int t + 2 e^{t - 7} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int t d t + \int 2 e^{t - 7} d t$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + \int 2 e^{t - 7} d t$

Paso 2.3.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 \int e^{t - 7} d t$

Paso 2.3.4

Sea $u = t - 7$ . Entonces $d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.4.1

Deja $u = t - 7$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.3.4.1.1

Diferencia $t - 7$ .

$\frac{d}{d t} [t - 7]$

Paso 2.3.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t - 7$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Paso 2.3.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 7]$

Paso 2.3.4.1.4

Como $- 7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $t$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 \int e^{u} d u$

Paso 2.3.5

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 (e^{u} + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{u} + C_{4}$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t - 7$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 7} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 7} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $7$ por $t$ y de $4$ por $y$ en $y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 7} + K$ .

$4 = \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 2 e^{7 - 7} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 2 e^{7 - 7} + K = 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 2 e^{7 - 7} + K = 4$

Paso 4.2

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 2 e^{7 - 7} + K$ .

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Paso 4.2.1

Resta $7$ de $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 2 e^{0} + K = 4$

Paso 4.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 49 + 2 e^{0} + K = 4$

Paso 4.2.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $49$ .

$\frac{49}{2} + 2 e^{0} + K = 4$

Paso 4.2.2.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{49}{2} + 2 \cdot 1 + K = 4$

Paso 4.2.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{49}{2} + 2 + K = 4$

Paso 4.2.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{49}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2} + K = 4$

Paso 4.2.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{49}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} + K = 4$

Paso 4.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{49 + 2 \cdot 2}{2} + K = 4$

Paso 4.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{49 + 4}{2} + K = 4$

Paso 4.2.6.2

Suma $49$ y $4$ .

$\frac{53}{2} + K = 4$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $\frac{53}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 4 - \frac{53}{2}$

Paso 4.3.2

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$K = 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{53}{2}$

Paso 4.3.3

Combina $4$ y $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{53}{2}$

Paso 4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$K = \frac{4 \cdot 2 - 53}{2}$

Paso 4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$K = \frac{8 - 53}{2}$

Paso 4.3.5.2

Resta $53$ de $8$ .

$K = \frac{- 45}{2}$

Paso 4.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$K = - \frac{45}{2}$

Paso 5

Sustituye $- \frac{45}{2}$ por $K$ en $y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 7} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- \frac{45}{2}$ por $K$ .

$y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 7} - \frac{45}{2}$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + 2 e^{t - 7} - \frac{45}{2}$

Paso 5.3

Para escribir $2 e^{t - 7}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + 2 e^{t - 7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{45}{2}$

Paso 5.4

Combina $2 e^{t - 7}$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + \frac{2 e^{t - 7} \cdot 2}{2} - \frac{45}{2}$

Paso 5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{t^{2} + 2 e^{t - 7} \cdot 2}{2} - \frac{45}{2}$

Paso 5.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{t^{2} + 4 e^{t - 7}}{2} - \frac{45}{2}$