Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x y^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{x^{2} + 1}{x}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 1}{x y^{2}}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $x y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 1}{y^{2} x}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 1}{y^{2} x}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$y^{2} d y = \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 \ln (| x |) + 3 C$

Paso 3.2.2.1.3

Combina $3$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{2}}{2} + 3 \ln (| x |) + 3 C$

Paso 3.3

Simplifica $3 \ln (| x |)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$y^{3} = \frac{3 x^{2}}{2} + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

Paso 3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

Paso 3.5

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$ .

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Paso 3.5.1

Para escribir $\ln ({| x |}^{3})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} + \ln ({| x |}^{3}) \cdot \frac{2}{2} + 3 C}$

Paso 3.5.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.5.2.1

Combina $\ln ({| x |}^{3})$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{\ln ({| x |}^{3}) \cdot 2}{2} + 3 C}$

Paso 3.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2}{2} + 3 C}$

Paso 3.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.3.1

Multiplica $\ln ({| x |}^{3}) \cdot 2$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Reordena $\ln ({| x |}^{3})$ y $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + 2 \cdot \ln ({| x |}^{3})}{2} + 3 C}$

Paso 3.5.3.1.2

Simplifica $2 \cdot \ln ({| x |}^{3})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln ({({| x |}^{3})}^{2})}{2} + 3 C}$

Paso 3.5.3.2

Multiplica los exponentes en ${({| x |}^{3})}^{2}$ .

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Paso 3.5.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln ({| x |}^{3 \cdot 2})}{2} + 3 C}$

Paso 3.5.3.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln ({| x |}^{6})}{2} + 3 C}$

Paso 3.5.3.3

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{6}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6})}{2} + 3 C}$

Paso 3.5.4

Para escribir $3 C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6})}{2} + 3 C \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 3.5.5

Combina $3 C$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6})}{2} + \frac{3 C \cdot 2}{2}}$

Paso 3.5.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 3 C \cdot 2}{2}}$

Paso 3.5.7

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}{2}}$

Paso 3.5.8

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}{2}}$ como $\frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$

Paso 3.5.9

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.5.10

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.5.10.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.5.10.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.5.10.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Paso 3.5.10.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Paso 3.5.10.5

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

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Paso 3.5.10.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.5.10.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.5.10.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.5.10.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.10.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.5.10.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Paso 3.5.10.5.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Paso 3.5.11

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.11.1

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Paso 3.5.11.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} \sqrt[3]{4}}{2}$

Paso 3.5.12

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.5.12.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{\sqrt[3]{(3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C) \cdot 4}}{2}$

Paso 3.5.12.2

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[3]{(3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C) \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C)}}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (3 x^{2} + \ln (x^{6}) + C)}}{2}$