Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = - 9 x^{8} e^{- x^{9}}$ , $y (0) = 2$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 9$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - 9 \int x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u_{2} = e^{- x^{9}}$ . Entonces $d u_{2} = - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$ , de modo que $- \frac{1}{9} d u_{2} = x^{8} e^{- x^{9}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u_{2} = e^{- x^{9}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $e^{- x^{9}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{9}}]$

Paso 2.3.2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{9}$ .

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Paso 2.3.2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x^{9}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

Paso 2.3.2.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x^{9}$ .

$e^{- x^{9}} \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.3.2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{9}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{9}]$ .

$e^{- x^{9}} (- \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 2.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 9$ .

$e^{- x^{9}} (- (9 x^{8}))$

Paso 2.3.2.1.3.3

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$e^{- x^{9}} (- 9 x^{8})$

Paso 2.3.2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1.4.1

Reordena los factores de $e^{- x^{9}} (- 9 x^{8})$ .

$- 9 e^{- x^{9}} x^{8}$

Paso 2.3.2.1.4.2

Reordena los factores en $- 9 e^{- x^{9}} x^{8}$ .

$- 9 x^{8} e^{- x^{9}}$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 9 \int \frac{1}{- 9} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = - 9 \int - \frac{1}{9} d u_{2}$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{1}{9} u_{2} + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.5.1

Simplifica.

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{1}{9} u_{2}) + C_{2}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

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Paso 2.3.5.2.1

Combina $u_{2}$ y $\frac{1}{9}$ .

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{u_{2}}{9}) + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$y + C_{1} = 9 \frac{u_{2}}{9} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.3

Combina $9$ y $\frac{u_{2}}{9}$ .

$y + C_{1} = \frac{9 u_{2}}{9} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.4

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 2.3.5.2.4.1

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{9 u_{2}}{9} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.4.2

Divide $u_{2}$ por $1$ .

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

Paso 2.3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{- x^{9}}$ .

$y + C_{1} = e^{- x^{9}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = e^{- x^{9}} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $2$ por $y$ en $y = e^{- x^{9}} + K$ .

$2 = e^{- 0^{9}} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $e^{- 0^{9}} + K = 2$ .

$e^{- 0^{9}} + K = 2$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e^{- 0} + K = 2$

Paso 4.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e^{0} + K = 2$

Paso 4.2.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1 + K = 2$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 2 - 1$

Paso 4.3.2

Resta $1$ de $2$ .

$K = 1$

Paso 5

Sustituye $1$ por $K$ en $y = e^{- x^{9}} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $1$ por $K$ .

$y = e^{- x^{9}} + 1$