Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + x = 8 y$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Resta $8 y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} + x - 8 y = 0$

Paso 1.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - 8 y = - x$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 8$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - 8 d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{- 8 x + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 8 x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- 8 x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{- 8 x}$ .

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 8 x} (- 8 y) = e^{- 8 x} (- x)$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 e^{- 8 x} y = e^{- 8 x} (- x)$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 e^{- 8 x} y = - e^{- 8 x} x$

Paso 3.4

Reordena los factores en $e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 e^{- 8 x} y = - e^{- 8 x} x$ .

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 y e^{- 8 x} = - x e^{- 8 x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 8 x} y] = - x e^{- 8 x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 8 x} y] d x = \int - x e^{- 8 x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{- 8 x} y = \int - x e^{- 8 x} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- 8 x} y = - \int x e^{- 8 x} d x$

Paso 7.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- 8 x}$ .

$e^{- 8 x} y = - (x (- \frac{1}{8} e^{- 8 x}) - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} d x)$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Combina $e^{- 8 x}$ y $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (x (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} d x)$

Paso 7.3.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- 8 x}}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} d x)$

Paso 7.3.3

Combina $e^{- 8 x}$ y $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \int - \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

Paso 7.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - - \int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

Paso 7.5

Simplifica.

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Paso 7.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + 1 \int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

Paso 7.5.2

Multiplica $\int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x$ por $1$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

Paso 7.6

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int e^{- 8 x} d x)$

Paso 7.7

Sea $u = - 8 x$ . Entonces $d u = - 8 d x$ , de modo que $- \frac{1}{8} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.7.1

Deja $u = - 8 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.7.1.1

Diferencia $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 7.7.1.2

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1$

Paso 7.7.1.4

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$- 8$

Paso 7.7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int e^{u} \frac{1}{- 8} d u)$

Paso 7.8

Simplifica.

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Paso 7.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int e^{u} (- \frac{1}{8}) d u)$

Paso 7.8.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int - \frac{e^{u}}{8} d u)$

Paso 7.9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} (- \int \frac{e^{u}}{8} d u))$

Paso 7.10

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} (- (\frac{1}{8} \int e^{u} d u)))$

Paso 7.11

Simplifica.

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Paso 7.11.1

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{8 \cdot 8} \int e^{u} d u)$

Paso 7.11.2

Multiplica $8$ por $8$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{64} \int e^{u} d u)$

Paso 7.12

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{64} (e^{u} + C))$

Paso 7.13

Simplifica.

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Paso 7.13.1

Reescribe $- (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{64} (e^{u} + C))$ como $- (- \frac{1}{8} x e^{- 8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{1}{8} x e^{- 8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

Paso 7.13.2

Simplifica.

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Paso 7.13.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x}{8} e^{- 8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

Paso 7.13.2.2

Combina $e^{- 8 x}$ y $\frac{x}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{e^{- 8 x} x}{8} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

Paso 7.13.2.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{64}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{e^{- 8 x} x}{8} - \frac{e^{u}}{64}) + C$

Paso 7.14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 8 x$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{e^{- 8 x} x}{8} - \frac{e^{- 8 x}}{64}) + C$

Paso 7.15

Simplifica.

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Paso 7.15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- 8 x} y = - - \frac{e^{- 8 x} x}{8} - - \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Paso 7.15.2

Multiplica $- - \frac{e^{- 8 x} x}{8}$ .

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Paso 7.15.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 8 x} y = 1 \frac{e^{- 8 x} x}{8} - - \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Paso 7.15.2.2

Multiplica $\frac{e^{- 8 x} x}{8}$ por $1$ .

$e^{- 8 x} y = \frac{e^{- 8 x} x}{8} - - \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Paso 7.15.3

Multiplica $- - \frac{e^{- 8 x}}{64}$ .

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Paso 7.15.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 8 x} y = \frac{e^{- 8 x} x}{8} + 1 \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Paso 7.15.3.2

Multiplica $\frac{e^{- 8 x}}{64}$ por $1$ .

$e^{- 8 x} y = \frac{e^{- 8 x} x}{8} + \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Paso 7.15.4

Reordena los factores en $\frac{e^{- 8 x} x}{8} + \frac{e^{- 8 x}}{64}$ .

$e^{- 8 x} y = \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Paso 7.16

Reordena los términos.

$e^{- 8 x} y = \frac{1}{8} x e^{- 8 x} + \frac{1}{64} e^{- 8 x} + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{- 8 x} y = \frac{1}{8} x e^{- 8 x} + \frac{1}{64} e^{- 8 x} + C$ por $e^{- 8 x}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{- 8 x} y = \frac{1}{8} x e^{- 8 x} + \frac{1}{64} e^{- 8 x} + C$ por $e^{- 8 x}$ .

$\frac{e^{- 8 x} y}{e^{- 8 x}} = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{- 8 x}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- 8 x} y}{e^{- 8 x}} = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{- 8 x}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Paso 8.3.1.1.2

Divide $\frac{1}{8} x$ por $1$ .

$y = \frac{1}{8} x + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Paso 8.3.1.2

Cancela el factor común de $e^{- 8 x}$ .

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Paso 8.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{1}{8} x + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Paso 8.3.1.2.2

Divide $\frac{1}{64}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{8} x + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Paso 8.3.2

Suma $\frac{1}{8} x$ y $\frac{1}{64}$ .

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Paso 8.3.2.1

Reordena $\frac{1}{8}$ y $x$ .

$y = x \frac{1}{8} + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Paso 8.3.2.2

Para escribir $x \frac{1}{8}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{64}{64}$ .

$y = x \frac{1}{8} \cdot \frac{64}{64} + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Paso 8.3.2.3

Combina $x \frac{1}{8}$ y $\frac{64}{64}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{8} \cdot 64}{64} + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Paso 8.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x \frac{1}{8} \cdot 64 + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Paso 8.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.3.1

Combina $x$ y $\frac{1}{8}$ .

$y = \frac{\frac{x}{8} \cdot 64 + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Paso 8.3.3.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 8.3.3.2.1

Factoriza $8$ de $64$ .

$y = \frac{\frac{x}{8} \cdot (8 (8)) + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Paso 8.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{\frac{x}{8} \cdot (8 \cdot 8) + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Paso 8.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x \cdot 8 + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Paso 8.3.3.3

Mueve $8$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{8 x + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Paso 8.3.4

Para escribir $\frac{8 x + 1}{64}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}}$ .

$y = \frac{8 x + 1}{64} \cdot \frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Paso 8.3.5

Para escribir $\frac{C}{e^{- 8 x}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{64}{64}$ .

$y = \frac{8 x + 1}{64} \cdot \frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}} \cdot \frac{64}{64}$

Paso 8.3.6

Escribe cada expresión con un denominador común de $64 e^{- 8 x}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.6.1

Multiplica $\frac{8 x + 1}{64}$ por $\frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}}$ .

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x}}{64 e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}} \cdot \frac{64}{64}$

Paso 8.3.6.2

Multiplica $\frac{C}{e^{- 8 x}}$ por $\frac{64}{64}$ .

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x}}{64 e^{- 8 x}} + \frac{C \cdot 64}{e^{- 8 x} \cdot 64}$

Paso 8.3.6.3

Reordena los factores de $e^{- 8 x} \cdot 64$ .

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x}}{64 e^{- 8 x}} + \frac{C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

Paso 8.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x} + C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

Paso 8.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{8 x e^{- 8 x} + 1 e^{- 8 x} + C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

Paso 8.3.8.2

Multiplica $e^{- 8 x}$ por $1$ .

$y = \frac{8 x e^{- 8 x} + e^{- 8 x} + C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

Paso 8.3.8.3

Mueve $64$ a la izquierda de $C$ .

$y = \frac{8 x e^{- 8 x} + e^{- 8 x} + 64 C}{64 e^{- 8 x}}$