Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \csc (x)$ , $y (4) = - 5$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \csc (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \csc (x) d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \csc (x) d x$

Paso 2.3

La integral de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $4$ por $x$ y de $- 5$ por $y$ en $y = \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$ .

$- 5 = \ln (| \csc (4) - \cot (4) |) + C$

Paso 4

Resuelve $C$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\ln (| \csc (4) - \cot (4) |) + C = - 5$ .

$\ln (| \csc (4) - \cot (4) |) + C = - 5$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Evalúa $\csc (4)$ .

$\ln (| 14.33558702 - \cot (4) |) + C = - 5$

Paso 4.2.1.1.2

Evalúa $\cot (4)$ .

$\ln (| 14.33558702 - 1 \cdot 14.30066625 |) + C = - 5$

Paso 4.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $14.30066625$ .

$\ln (| 14.33558702 - 14.30066625 |) + C = - 5$

Paso 4.2.1.2

Resta $14.30066625$ de $14.33558702$ .

$\ln (| 0.03492076 |) + C = - 5$

Paso 4.2.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0.03492076$ es $0.03492076$ .

$\ln (0.03492076) + C = - 5$

Paso 4.3

Resta $\ln (0.03492076)$ de ambos lados de la ecuación.

$C = - 5 - \ln (0.03492076)$

Paso 5

Sustituye $- 5 - \ln (0.03492076)$ por $C$ en $y = \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- 5 - \ln (0.03492076)$ por $C$ .

$y = \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) - 5 - \ln (0.03492076)$

Paso 5.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y = \ln (\frac{| \csc (x) - \cot (x) |}{0.03492076}) - 5$

Paso 5.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1

Multiplica por $1$ .

$y = \ln (\frac{1 | \csc (x) - \cot (x) |}{0.03492076}) - 5$

Paso 5.3.2

Factoriza $0.03492076$ de $0.03492076$ .

$y = \ln (\frac{1 | \csc (x) - \cot (x) |}{0.03492076 (1)}) - 5$

Paso 5.3.3

Separa las fracciones.

$y = \ln (\frac{1}{0.03492076} \cdot \frac{| \csc (x) - \cot (x) |}{1}) - 5$

Paso 5.3.4

Divide $1$ por $0.03492076$ .

$y = \ln (28.63625328 \frac{| \csc (x) - \cot (x) |}{1}) - 5$

Paso 5.3.5

Divide $| \csc (x) - \cot (x) |$ por $1$ .

$y = \ln (28.63625328 | \csc (x) - \cot (x) |) - 5$