Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 - 0.02 y$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{2 - 0.02 y}$ .

$\frac{1}{2 - 0.02 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - 0.02 y} (2 - 0.02 y)$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $2 - 0.02 y$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 - 0.02 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - 0.02 y} (2 - 0.02 y)$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 - 0.02 y} \frac{d y}{d x} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{2 - 0.02 y} d y = 1 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{2 - 0.02 y} d y = \int d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 2 - 0.02 y$ . Entonces $d u = - 0.02 d y$ , de modo que $\frac{1}{- 0.02} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 2 - 0.02 y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe.

$\frac{- 0.02}{1}$

Paso 2.2.1.1.2

Divide $- 0.02$ por $1$ .

$- 0.02$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 50}{u} d u = \int d x$

Paso 2.2.2

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int - \frac{50}{u} d u = \int d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{50}{u} d u = \int d x$

Paso 2.2.4

Dado que $50$ es constante con respecto a $u$ , mueve $50$ fuera de la integral.

$- (50 \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Paso 2.2.5

Multiplica $50$ por $- 1$ .

$- 50 \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Paso 2.2.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- 50 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$- 50 \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Paso 2.2.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 - 0.02 y$ .

$- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) + C_{1} = \int d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) = x + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) = x + C$ por $- 50$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) = x + C$ por $- 50$ .

$\frac{- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |)}{- 50} = \frac{x}{- 50} + \frac{C}{- 50}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común de $- 50$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |)}{- 50} = \frac{x}{- 50} + \frac{C}{- 50}$

Paso 3.1.2.1.2

Divide $\ln (| 2 - 0.02 y |)$ por $1$ .

$\ln (| 2 - 0.02 y |) = \frac{x}{- 50} + \frac{C}{- 50}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| 2 - 0.02 y |) = - \frac{x}{50} + \frac{C}{- 50}$

Paso 3.1.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| 2 - 0.02 y |) = - \frac{x}{50} - \frac{C}{50}$

Paso 3.2

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 2 - 0.02 y |)} = e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (| 2 - 0.02 y |) = - \frac{x}{50} - \frac{C}{50}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}} = | 2 - 0.02 y |$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $| 2 - 0.02 y | = e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}$ .

$| 2 - 0.02 y | = e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}$

Paso 3.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$2 - 0.02 y = \pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}$

Paso 3.4.3

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- 0.02 y = \pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}} - 2$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $- 0.02 y = \pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}} - 2$ por $- 0.02$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $- 0.02 y = \pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}} - 2$ por $- 0.02$ .

$\frac{- 0.02 y}{- 0.02} = \frac{\pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}}{- 0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $- 0.02$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 0.02 y}{- 0.02} = \frac{\pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}}{- 0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}}{- 0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.4.3.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{- 0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Paso 3.4.4.3.1.2

Simplifica $\frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{- 0.02}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Paso 3.4.4.3.1.3

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{- x - C}{50}})}{0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Paso 3.4.4.3.1.4

Factoriza $0.02$ de $0.02$ .

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{- x - C}{50}})}{0.02 (1)} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Paso 3.4.4.3.1.5

Separa las fracciones.

$y = \frac{1}{0.02} \cdot \frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{1} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Paso 3.4.4.3.1.6

Divide $1$ por $0.02$ .

$y = 50 \frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{1} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Paso 3.4.4.3.1.7

Divide $\pm e^{\frac{- x - C}{50}}$ por $1$ .

$y = 50 (\pm e^{\frac{- x - C}{50}}) + \frac{- 2}{- 0.02}$

Paso 3.4.4.3.1.8

Divide $- 2$ por $- 0.02$ .

$y = 50 (\pm e^{\frac{- x - C}{50}}) + 100$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = 50 (\pm e^{\frac{- x + C}{50}}) + 100$