Cálculo Ejemplos

$4 e^{4 y} \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 e^{4 y}$

Paso 1

Sea $v = e^{4 y}$ . Sustituye $v$ por todos los casos de $e^{4 y}$ .

$4 v \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

Paso 2

Obtén $\frac{d v}{d x}$ mediante la diferenciación de $e^{4 y}$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 y')$

Paso 2.4

Reordena los factores de $e^{4 y} (4 y')$ .

$\frac{d v}{d x} = 4 e^{4 y} y'$

Paso 3

Sustituye $v$ por $e^{4 y}$ .

$\frac{d v}{d x} = 4 v y'$

Paso 4

Vuelve a sustituir la derivada en la ecuación diferencial.

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$4 v \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

Paso 5

Resta $3 v$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d v}{d x} - 3 v = 2 x e^{3 x}$

Paso 6

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 3$ .

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Paso 6.1

Establece la integración.

$e^{\int - 3 d x}$

Paso 6.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{- 3 x + C}$

Paso 6.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 3 x}$

Paso 7

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- 3 x}$ .

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Paso 7.1

Multiplica cada término por $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 v) = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

Paso 7.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

Paso 7.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{- 3 x} (x e^{3 x})$

Paso 7.4

Multiplica $e^{- 3 x}$ por $e^{3 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.4.1

Mueve $e^{3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 (e^{3 x} e^{- 3 x}) x$

Paso 7.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{3 x - 3 x} x$

Paso 7.4.3

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{0} x$

Paso 7.5

Simplifica $2 e^{0} x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$

Paso 7.6

Reordena los factores en $e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 v e^{- 3 x} = 2 x$

Paso 8

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] = 2 x$

Paso 9

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] d x = \int 2 x d x$

Paso 10

Integra el lado izquierdo.

$e^{- 3 x} v = \int 2 x d x$

Paso 11

Integra el lado derecho.

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Paso 11.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{- 3 x} v = 2 \int x d x$

Paso 11.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 11.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Paso 11.3.2

Simplifica.

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Paso 11.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Paso 11.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Paso 11.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{- 3 x} v = 1 x^{2} + C$

Paso 11.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$e^{- 3 x} v = x^{2} + C$

Paso 12

Divide cada término en $e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ por $e^{- 3 x}$ y simplifica.

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Paso 12.1

Divide cada término en $e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ por $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Paso 12.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.2.1

Cancela el factor común de $e^{- 3 x}$ .

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Paso 12.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Paso 12.2.1.2

Divide $v$ por $1$ .

$v = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $v$ con $e^{4 y}$ .

$e^{4 y} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Paso 14

Resuelve $y$

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Paso 14.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{4 y}) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Paso 14.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 14.2.1

Expande $\ln (e^{4 y})$ ; para ello, mueve $4 y$ fuera del logaritmo.

$4 y \ln (e) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Paso 14.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$4 y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Paso 14.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Paso 14.3

Divide cada término en $4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ por $4$ y simplifica.

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Paso 14.3.1

Divide cada término en $4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

Paso 14.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 14.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 14.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

Paso 14.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$